Este video muestra una pregunta sobre cálculo diferencial, pero en vez de pedir la derivada en un punto, se pide una función que al ser evaluada en un punto tome un valor y la derivada en el mismo punto otro valor, ¿cuántas posibles respuestas hay?

 

Análisis Didáctico

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Cálculo de Derivadas:

En este artículo se trabajará sobre el cálculo de derivadas, la cual, es una noción clave dentro del Cálculo. La derivada tiene a su vez diferentes subconceptos y perspectivas de estudio que son importantes para su comprensión y posteriores aplicaciones: interpretación geométrica: pendiente de la recta tangente a una curva; interpretación analítica: como límite del cociente incremental; su carácter puntual y global para el análisis de una curva específica y las aplicaciones en las razones de cambio y en la optimización, además de todo lo anterior está la relación entre todos estos subconceptos y perspectivas.

 

Al trabajar sobre un concepto o un objeto matemático específico, se vuelve necesario analizar las dificultades propias que se han descubierto en la investigación sobre el aprendizaje de este. En un artículo de Sánchez-Matamoros, García y Llinares (2008) hacen un exhaustivo análisis de las investigaciones que se han hecho con respecto al cálculo diferencial y las principales dificultades que se han encontrado en el aprendizaje de este concepto por parte de los estudiantes.

 

Por ejemplo, Artigue (1995), concluyó que los alumnos pueden realizar procesos rutinarios de cálculos de derivada, pero tienen dificultades al tener que realizar tareas donde la comprensión conceptual del objeto se hace necesaria.

¿Qué significa realizar procesos rutinarios? Por ejemplo, en el cálculo de derivadas, dar una función y pedir la derivada de esta o la derivada evaluada en un punto.

 

Es importante dejar claro que, la idea no es eliminar los cálculos rutinarios, sino que no quedarse sólo en ellos. En este mismo sentido, Lagrange (2000) concluyó en un estudio que hizo sobre uso de calculadoras simbólicas (CAS), que el desarrollo de técnicas ayuda a los estudiantes a conceptualizar y no se puede “pasar” directamente a la conceptualización si es que la técnica no se domina.

 

Estas preguntas se enmarcan en este proceso, son preguntas de cálculo, pero son preguntas abiertas, pues tienen infinitas soluciones. Acá se plantean dos que están relacionadas y ambas son una variación de una pregunta desarrollada por el profesor Rodrigo Hernández de la UAI.

 

¿Qué se espera del estudiante?

El estudiante tendrá como información el valor de una función en un punto y el valor de la derivada de la función en el mismo punto, es decir, dados, a,b y c en \mathbb{R} encontrar f tal que f paréntesis izquierdo a paréntesis derecho igual b y f apóstrofe paréntesis izquierdo a paréntesis derecho igual c.

 

Por lo que tendrá que buscar una función que satisfaga esas condiciones. ¿Qué tipo de funciones satisfacen este tipo de condiciones? Observe que el estudiante debe elegir a priori un modelo de función para darle las condiciones.

 

Por ejemplo, si busca una función lineal, de la forma f(x)=M x+B debe determinar los valores de M y B para quef paréntesis izquierdo a paréntesis derecho igual b yf apóstrofe paréntesis izquierdo a paréntesis derecho igual c. Si se aplican las condiciones a la función obtenemos:

envoltorio inferior envoltorio por la derecha tabla columna celda tabla columna celda M a más B fin celda igual c columna M igual c fin tabla fin celda fin tabla fin envoltorio fin envoltorio

Es un sistema lineal de 2 x 2 consistente y con única solución.

 

Si por otra parte eligen una función cuadrática, de la forma f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual A x al cuadrado más B x más C y se aplican las condiciones se obtiene el siguiente sistema:

envoltorio inferior envoltorio por la derecha tabla columna celda A a al cuadrado más B a más C fin celda igual b columna celda 2 A a más B fin celda igual c fin tabla fin envoltorio fin envoltorio

El cuál tiene única solución cuando a igual 0 e infinitas soluciones cuando a no igual 0 .

Por último, se muestra un ejemplo en el que se elija una función seno como respuesta a esta pregunta. Se eligió f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual c por s e n paréntesis izquierdo x menos a paréntesis derecho más b  ya que satisface las dos condiciones:

  • f paréntesis izquierdo a paréntesis derecho igual c por s e n paréntesis izquierdo a menos a paréntesis derecho más b igual c por s e n paréntesis izquierdo 0 paréntesis derecho más b igual b
  • f apóstrofe paréntesis izquierdo a paréntesis derecho igual c por cos paréntesis izquierdo a menos a paréntesis derecho igual c por cos paréntesis izquierdo 0 paréntesis derecho igual c

Si se eligen otros modelos de funciones, como  exponenciales o logarítmicos por ejemplo, es interesante analizar los sistemas de ecuaciones que se producen y sus soluciones.

 

Una vez que los estudiantes produzcan sus primeras soluciones, el profesor podría pedirles soluciones más creativas, en el sentido de que no sea lineal si es que todos responden una solución lineal o que no sea polinómica, por ejemplo.

 

Retroalimentación

Otro elemento que en este tipo de preguntas es importante añadir es algún tipo de retroalimentación. Sobre todo porque el esquema de Moodle genera un tipo de retroalimentación que puede confundir a los estudiantes.

Cuando se construye una pregunta en moodle el espacio de respuesta no se puede dejar vacío (si alguien sabe como evitar esto, agradecería que lo compartiera). En el caso de una pregunta que tenga infinitas soluciones tu puedes dejar una letra que no signifique nada o una de las posibles respuestas como “la respuesta”.

Para no confundir al estudiante, elegí dar como retroalimentación varias respuestas correctas indicando expresamente que esta pregunta tienen muchas soluciones posibles (ver minuto 1:16 del video) y que las que se muestran son sólo ejemplos.

Otra retroalimentación que definí fue para las respuestas incompletas. Concretamente,  si el estudiante ingresa una respuesta que satisface sólo una de las condiciones y no las dos, el sistema le entrega una retroalimentación indicándole esto (ver video a partir del minuto 3:50).

 Otra pregunta

Si la pregunta funciona como medio a-didáctico en el sentido de Brusseau (1995), llegará un momento en que los estudiantes verán que la respuesta mas sencilla de entregar es una función lineal. Entonces si cambiamos las condiciones de la pregunta podríamos pedir implícitamente otro tipo de soluciones. Por ejemplo, entre el minuto 1:46 y el minuto 3:49 se muestra una variación de la pregunta. En vez de dar condiciones sobre la función y la derivada de la función en un punto, se entregan dos condiciones sobre la derivada en dos puntos diferentes, es decir, dados a coma espacio b coma espacio c y d en los reales, se pide encontrar una función f que satisfaga que f apóstrofe paréntesis izquierdo a paréntesis derecho igual b y f apóstrofe paréntesis izquierdo c paréntesis derecho igual d con a no igual c y b no igual d entonces una función lineal no puede ser solución.

Para esta pregunta no se hizo retroalimentación, se deja como tarea pendiente a los profesores que quieran utilizar esta pregunta. ¿Cuál podría ser una solución en términos de a coma espacio b coma espacio c y d ?

 

 Referencias:

Brousseau, G. (1998), Théorie des Situations Didactiques, La pensée sauvage.

Sánchez-Matamoros, G., García, M., & Llinares, S. (2008). La comprensión de la derivada como objeto de investigación en didáctica de la matemática. Revista Latinoamericana de Investigación En Matemática Educativa, 11(2), 267–296.

 

Información para uso y descarga

descarga

El primer problema se puede ver y descargar en la siguiente ventana:

El segundo problema se despliega aquí:

Análisis Tecnológico

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Para poder utilizar estas preguntas o cualquier otra del Stem Collection de Wiris en un aula virtual propia o en la institución donde eres profesor necesitas:

  • Una plataforma Moodle
  • Instalar el plugin WIRIS QUIZZES en el Moodle

Una vez hecho esto podrás ver la pregunta tal cual como se ve en el video y modificar algo que no te guste de ella o crear otra a partir de esta misma.

Los elementos aleatorios se configuran de acuerdo a una pequeña programación que es completamente modificable.

Dentro de esta pregunta quizás la parte más interesante es la de la validación de las respuestas de los estudiantes. Para hacer esto, dentro de Wiris se puede definir una función de calificación, la cual compara la respuesta de los estudiantes con una condición que se le impone a la respuesta de estos. Por ejemplo en esta pregunta, se dan tres números aleatorios a coma espacio b y c  y se les pide a los estudiantes que ingresen una función que satisfaga que f paréntesis izquierdo a paréntesis derecho igual b y f apóstrofe paréntesis izquierdo a paréntesis derecho igual c. Para que el sistema compare las condiciones con la respuesta de los estudiantes, hay que hacer dos cosas:

  1. Definir en la pestaña Validación la función de calificación que la llamaremos fun:

    definición función de evaluación

    Definición función de evaluación

  2. Dentro de la ventana del algoritmo definir la función de calificación:

    algoritmo infinitas respuestas

    algoritmo infinitas respuestas

Con estos dos elementos el sistema puede comparar la respuesta de los estudiantes con las condiciones impuestas al estudiante.

Sería interesante pensar que condición deberíamos definir para pedir por ejemplo una función que sea creciente en un intervalo dado…

 

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