En este artículo se muestra nuevamente la idea de convertir la respuesta en pregunta (ver por ejemplos estos artículos sobre derivadas y sobre distancia entre puntos), es decir, en vez de pedirle al estudiante calcular algo en particular, se le da una condición y se le pide entregar objetos que al trabajarlos bajo cierta operación den como resultado esa condición. En este caso se da como condición la conmutatividad de matrices y se pide encontrar dos matrices A y B tales que la satisfagan. 

 

Análisis Didáctico

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Enseñanza del álgebra lineal:

El álgebra lineal es una rama de la matemática que en general es compleja para los estudiantes, por una parte se trabaja con objetos abstractos que a pesar de tener una cantidad importante de aplicaciones, no necesariamente son accesibles para los estudiantes sin volverlos artificiales al tratar de hacer una transposición (Chevallard, 1991) de esas aplicaciones en cursos de introducción .

Además del sentido que pueden tener estos objetos para los estudiantes, las operaciones que se realizan en álgebra lineal tales como multiplicación, transposición, inversión, escalonamiento o diagonalización, entre otras, son operativamente complejas y también un poco tediosas.

Por lo que hay una doble problemática al trabajar el álgebra lineal, hay un problema de sentido de los objetos y un problema de los algoritmos que son necesarios para conceptualizar (Lagrange, 2000).

El tema en general es bastante complejo, y en este artículo sólo se pretende presentar una actividad que puede servir como evaluación y que a su vez se puede utilizar como una actividad de clases para trabajar el algoritmo de multiplicación entre dos matrices y trabajar la propiedad conmutativa.

Multiplicación de matrices:

La multiplicación de matrices es compleja y extraña para los estudiantes, si se compara con la suma de matrices que parece mucho más natural., entonces, la “rareza” de la multiplicación de matrices parece mas evidente para los estudiantes.

Como anécdota, recuerdo que cuándo tuve mi primer curso de álgebra lineal le pregunté a la profesora porque la multiplicación no era término a término como la suma, me respondió que de esta forma tenía mas propiedades, ¿están de acuerdo con esa respuesta? ¿qué respuesta darían a sus estudiantes si les hiciera la misma pregunta?, por cierto, no me dejó convencida su respuesta, pero no supe cómo seguir preguntando…

En fin, en general, la estrategia clásica que se sigue es presentar la multiplicación de matrices a través de diversos ejemplos y algunas veces también entregando la definición de multiplicación de matrices como sigue:

Dadas A igual paréntesis izquierdo a subíndice i j fin subíndice paréntesis derecho subíndice m multiplicación en cruz p fin subíndice y B igual paréntesis izquierdo b subíndice i j fin subíndice paréntesis derecho subíndice p multiplicación en cruz n fin subíndice entonces la matriz C igual paréntesis izquierdo c subíndice i j fin subíndice paréntesis derecho subíndice m multiplicación en cruz n fin subíndice igual A por B  se define de la siguiente forma:

c subíndice i j fin subíndice igual sumatorio subíndice k igual 1 fin subíndice superíndice n a subíndice i k fin subíndice por b subíndice k j fin subíndice

Independiente de como se presente, lo que sigue es darle a los estudiantes, una serie de problemas donde deben calcular la multiplicación entre dos o más matrices combinadas con otras operaciones como la suma y la transpuesta, por ejemplo. Este trabajo en general es tedioso y complicado al comienzo, además que la validación de las posibles respuestas está en manos de los profesores.

Conmutatividad en las matrices

Las multiplicación de matrices es una de los primeras operaciones no conmutativas que conocen los estudiantes en su vida académica. Si tenemos en cuenta que esto lo ven en los últimos cursos de la escuela secundaria o en la universidad, después de haber estado trabajando con conjuntos conmutativos durante años, no es de extrañar que al signo A por B los estudiantes le asocien la propiedad conmutativa, a pesar de los ejemplos que el profesor muestre.

Para trabajar por una parte en la multiplicación y en el trabajo con la propiedad multiplicativa se trabajará con el siguiente problema:

Enunciado:

Encuentre dos matrices A y B  diferentes y que no sean de 1 multiplicación en cruz 1 tales que A por B igual B por A

¿Qué se espera del estudiante?

Para ver que se espera del estudiante hay que diferenciar entre utilizar esta actividad para una evaluación o como actividad de clases. Acá se presentará este problema en el contexto de una clase y se mostrarán lo elementos que se espera que emerjan en las respuestas de un estudiante individual y las interacciones que esperamos aparezcan en el conjunto de la clase.

El objetivo de la actividad es que el estudiante practique el algoritmo de la multiplicación y al mismo tiempo trabaje la no conmutatividad de las matrices de una manera no estándar.

Etapa 1 – Definición de multiplicación de matrices: el profesor explica la definición de matrices y muestra algunos ejemplos. Después le pide que ingresen a

Etapa 2 – Asignación de la tarea: Seles entrega el siguiente enunciado:

Encuentre dos matrices A y B  diferentes y que no sean de 1 multiplicación en cruz 1 tales que A por B igual B por A  

 

Los estudiantes deben responder de forma individual la pregunta, pero una vez que hayan respondido correctamente pueden ayudar a algún otro compañero que aún no haya encontrado un par de matrices con las condiciones solicitadas.

Como se indicó más adelante, los estudiantes tienen 5 intentos para responder uno de estos enunciados, si es que al hacer los 5 intentos erran en todos, pueden abrir otra pregunta, con las mismas características que en el caso anterior

Los estudiantes al enfrentarse a esta pregunta lo primero que deberán pensar es en el tamaño de las matrices.  La única condición es que no deben ser de tamaño 1 multiplicación en cruz 1. Uno de los elementos que debe emerger de esta primera etapa es la condición de que la conmutatividad sólo se puede dar en matrices cuadradas.

Como no hay indicación de tamaño, lo más económico es que comiencen a buscar en las matrices de 2 multiplicación en cruz 2. La búsqueda en un principio será un poco errática, como no hay más restricciones es posible que aparezcan matrices constantes, por ejemplo de la forma:

 A igual abrir paréntesis tabla columna k k columna k k fin tabla cerrar paréntesis espacio y espacio B igual abrir paréntesis tabla columna r r columna r r fin tabla cerrar paréntesis con k coma espacio r pertenece normal números reales.

En estas primeras matrices por ejemplo, puede aparecer la matriz nula también. Si es que llega a aparecer la matriz identidad se podría trabajar su propiedad neutra y además mostrar que conmuta con todas las matrices.

Una vez esta pregunta haya sido respondida, se pasa a otra pregunta con más condiciones. Esta segunda pregunta se centrará en las matrices de 2 multiplicación en cruz 2, además de pedir que conmuten, se les pedirá que al menos cada matriz tenga dos coeficientes diferentes en su interior y que las matrices sean diferentes entre ellas.

Con esta nueva condición se espera que encuentren matrices más elaboradas, a su vez el profesor a medida que vayan apareciendo respuestas, puede agregar más condiciones, pero debe tener en consideración que las matrices conmutativas tienen la siguiente forma:

 Etapa 3 – Familia de soluciones: una vez que se hayan encontrado soluciones, el profesor podría propiciar la búsqueda de familia de matrices conmutativas, es decir, que no sea una matriz con valores fijos sino que con parámetros, de tal forma que puedan ver que tienen cierta forma característica.

Otras preguntas

Dependiendo de la velocidad de trabajo del curso, se podría tener listas otras preguntas, para trabajar propiedades que son interesantes de las matrices, por ejemplo:

  • Encuentre dos matrices   A y B  diferentes, no nulas tales que A por B igual 0 (matrices ortogonales)
  • Encuentre una matriz  A, no nula, tal que A al cuadrado igual 0 (matrices nilpotentes de grado 2)
  • Encuentre una matriz  A tal que A al cuadrado igual I subíndice 2 (matrices idempotentes de grado 2)

Referencias:

Chevallard, Y. (1991). La transposición didáctica. Del saber sabio al saber enseñado, 1.

Lagrange, J. B. (2000). L’intégration d’instruments informatiques dans l’enseignement: une approche par les techniques. Educational studies in mathematics, 43(1), 1-30.

Lagrange 2004: Lagrange, J. B. (2004) Transposing computer tools from “mathematical sciences” into teaching. Some posible obstacles, In D. Guin; K. Ruthven, L. Trouche (eds), The didactical challenge of symbolic calculators: turning a computacional device into a mathematical instrument. Kluwer.

 Brousseau, G. (1990). Le contrat didactique: le milieu. Recherches en didactique des mathématiques, 9(9.3), 309-336.

 

Información para uso y descarga

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El primer problema se puede ver y descargar en la siguiente ventana:

 

Análisis Tecnológico

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Para poder utilizar estas preguntas o cualquier otra del Stem Collection de Wiris en un aula virtual propia o en la institución donde eres profesor necesitas:

  • Una plataforma Moodle
  • Instalar el plugin WIRIS QUIZZES en el Moodle

Una vez hecho esto podrás ver la pregunta tal cual como se ve en el video y modificar algo que no te guste de ella o crear otra a partir de esta misma.

Esta pregunta en particular es muy sencilla de programar, de hecho es una línea de algoritmo!!!!. Para construirla primero escribimos el enunciado, si se fijan nada está escrito con el símbolo #, ya que no hay información variable:

Enunciado de la pregunta

Enunciado de la pregunta

Luego se define la respuesta correcta, en este caso es una pregunta compuesta y se eligió que el editor apareciera en una ventana emergente

Respuesta correcta y calificación

Respuesta correcta y calificación

Por último se define la condición y tal como indiqué más arriba la pregunta tiene sólo una línea de código:

Código para la conmutatividad de matrices en la multiplicación

Código para la conmutatividad de matrices en la multiplicación

 

¿Qué indica cada condición? la estructura general para escribir una condición es la siguiente: t e s t paréntesis izquierdo A coma B paréntesis derecho dos puntos igual paréntesis izquierdo espacio espacio espacio espacio espacio paréntesis derecho ? donde A y B serían las respuestas de los estudiantes y en el interior del paréntesis se escriben las condiciones, en este caso hay una para la conmutividad: A por B igual B por A y otra para el tamaño de las matrices: n _ f i l a s paréntesis izquierdo A paréntesis derecho mayor o igual que 2, observen que sólo la condición se coloca sobre las filas de A, también podría haber sido sobre las columnas de A, sobre las filas de B o sobre las columnas de B, pero sólo una de ellas y no dos o más condiciones, ¿es claro por qué?.

 

 

Limitaciones tecnológicas

Sería interesante que existiera la posibilidad de retroalimentar a los estudiantes en función de sus respuestas, por el momento no es posible, pero esperemos que eso se desarrolle pronto.

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