Para nadie es desconocido que el trabajo geométrico en el espacio es algo complejo, sobretodo con la visualización de los objetos, especial, con los poliedros. Ni hablar de los dibujos que podemos intentar hacer con algunos sólidos arquimedianos en la pizarra.

La idea es que puedas hacer la construcción dada en el vídeo y que puedas elaborar diversas actividades sobre ella. Más adelante, podrás encontrar algunas propuestas.
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Análisis Didáctico

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Poliedros poco conocidos

Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son un grupo de poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares de dos o más tipos. Todos los sólidos de Arquímedes son de vértices uniformes, es decir, se dice poliedro de vértices uniforme cuando en todos los vértices del poliedro convergen el mismo número de caras y en el mismo orden.

La mayoría de los Sólidos arquimedianos se obtienen truncando los Sólidos Platónicos (son poliedros convexos tal que todas sus caras son polígonos regulares iguales entre sí, y en que todos los ángulos sólidos son iguales). Arquímedes describió ampliamente estos cuerpos en trabajos que fueron desapareciendo, fue sólo en el Renacimiento cuando artistas y matemáticos los redescubrieron. Siete sólidos arquimedianos se pueden obtener truncando sólidos platónicos: el tetraedro truncado, el cuboctaedro, el cubo truncado, el octaedro truncado, el icosidodecaedro, el dodecaedro truncado y el icosaedro truncado.

En esta ocasión, te invito a construir el cuboctaedro en GeoGebra, mediante su vista 3D. Para ello, revisa el vídeo y sigue el paso a paso.

 

Actividades propuestas

  1. Es cierto que en el cuboctaedro se cumple que “El número de vértices más el número de caras es igual al número de aristas más 2”
  2. ¿Cómo podrías expresar dicha afirmación en un lenguaje matemático? Determínalo.

    Si la arista del cubo inicial (que sirvió para la construcción del cuboctaedro) posee por medida 2 [cm], entonces ¿Cuál será la medida de la superficie del cuboctaedro obtenido?

     

¿Qué se espera del estudiante?

Enunciado 1:

Para ver que se espera del estudiante hay que diferenciar entre utilizar esta actividad para una evaluación o como actividad de clases. Acá se presentará este problema en el contexto de una clase y se mostrarán lo elementos que se espera que emerjan en las respuestas de un estudiante individual y las interacciones que esperamos aparezcan en el conjunto de la clase.

 

– Verificar dicha afirmación, haciendo el conteo de los vértices, las caras y las aristas, que son los conceptos que están en juego. Para ello, debe identificar en la construcción los vértices, las caras y las aristas.

– Puede que no cuente las caras cuadradas porque están transparentes. Puedes agregar a la construcción cuadrados, haciendo un procedimiento análogo a la construcción de los triángulos que fueron realizados.

Enunciado 2:

– Realizar la transformación desde el lenguaje escrito al lenguaje algebraico. Podría bautizar las variables en juego como:

  • C: número de caras
  • V: número de vértices
  • A: número de aristas

Luego, las relacionaría como sigue: C más V igual A más 2

– Podría colocar otras expresiones algebraicas para establecer la relación.

Enunciado 3:

– Identificar las figuras planas en el espacio que constituyen el cuboctaedro. En ese sentido, se tendrán 8 triángulos equiláteros de lado raíz cuadrada de 2 corchete izquierdo c m corchete derecho y 6 6 cuadrados de lado raíz cuadrada de 2 corchete izquierdo c m corchete derecho también. Luego, les debería dar un área superficial como sigue:

Con lado del triángulo equilátero I subíndice 1 , lado del cuadrado I subíndice 2 y I subíndice 1 igual I subíndice 2 igual raíz cuadrada de 2 espacio corchete izquierdo c m corchete derecho  se tiene que:

tabla columna celda Á r e a subíndice s u p e r f i c i e fin subíndice fin celda igual celda 8 por Á r e a subíndice t r i á n g u l o fin subíndice más 6 por Á r e a subíndice c u a d r a d o fin subíndice fin celda columna blank igual celda 8 por raíz cuadrada de 3 por I subíndice 2 más 6 por I subíndice 2 fin celda columna blank igual celda 4 raíz cuadrada de 3 más 12 fin celda fin tabla

Por lo tanto el área de la superficie es abrir paréntesis 4 raíz cuadrada de 3 más 12 cerrar paréntesis corchete izquierdo c m corchete derecho

– Podrían formular el área superficial general del octaedro, dado su arista de longitud L corchete izquierdo u corchete derecho (notar

que corchete izquierdo u corchete derecho son unidades de longitud). Esta sería la relación: Á r e a subíndice s u p e r f i c i e fin subíndice igual abrir paréntesis 6 más 2 raíz cuadrada de 3 cerrar paréntesis L corchete izquierdo u corchete derecho

 

Para finalizar

 

– Te recomiendo que primero realices esta actividad e identifiques las posibles dificultades que pueden tener los estudiantes a la hora de llevarlo a cabo.

– Le puedes pedir que trunquen otros sólidos platónicos como actividad anexa. Pueden verificar la relación de Euler que formularonC más V igual A más 2 y calcular las medidas de las superficies generadas.

– Éxito y espero tus comentarios sobre la implementación de la actividad.

Información para uso y descarga

descarga

El applet de GeoGebra se puede descargar desde el siguiente enlace:

 

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