Este video muestra un problema geométrico que se resuelve mediante una ecuación de segundo grado aplicando el teorema de pitágoras y el artículo muestra como parametrizarlo y construirlo en Moodle utilizando WIRIS y GeoGebra.

 

Análisis Didáctico

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Contexto del problema:

El problema que se presenta en este artículo tiene un enfoque diferente a los anteriores. Acá mostraré un problema que encontré en un libro de matemáticas de tercer grado de liceo (segundo medio en Chile), del sistema escolar francés. El libro se llama Sesamath y la unidad a la que pertenece el problema es Cálculo literal y ecuaciones.

Como generalmente me ocurre cuando veo un problema interesante (la frase problema interesante es un poco ambigua, así que la etiqueta de interesante se plantea desde la intuición), pienso en como parametrizarlo para poder utilizar el potencial de herramientas que tienen comandos aleatorios, tales como WIRIS o GeoGebra.

Enunciado del problema:

Considere un rectángulo ABCD tal que AB=5 cm, BC =2 cm. M es un punto que se desplaza sobre el segmento DC tal como lo muestra la Figura 1. Si se define  DM=x, determine los valores de x para los cuales el triángulo AMB es rectángulo en M.

ecuación de segundo grado - enunciado

Figura 1: Rectángulo del enunciado del problema

 

Ecuación de segundo grado para solucionar el problema:

El problema me pareció interesante porque para resolverlo algebraicamente hay que plantear el teorema de pitágoras en términos de x y las medidas del rectángulo. Concretamente, el triángulo AMB es rectángulo en M si y sólo si satisface el teorema de pitágoras, es decir, si se cumple que

AM^2+MB^2=AB^2  (1)

Sabemos que AB=5, AM es la hipotenusa del triángulo rectángulo AMD. De manera análoga MB es la hipotenusa  del triángulo MBC. Por lo tanto al aplicar el teorema de Pitágoras a los triángulos AMDMBC obtenemos:

AM^2=2^2+x^2      (2)

MB^2=2^2+(5-x)^2      (3)

Al reemplazar (2) y (3) y el valor de AB en (1) se obtiene:

4+x^2+4+(5-x)^2=25       (4)

 Al simplificar, desarrollar y factorizar la ecuación se obtiene:

(x-1)(x-4)=0            (5)

Por lo tanto si DM=1 cm o DM=4 cm el triángulo AMB es rectángulo en M.

Lo interesante del problema es que las dos soluciones son válidas y además fue construida para que las soluciones de la ecuación de segundo grado tuviese dos soluciones enteras. Estos detalles son importantes pues cambian la dificultad del problema.

Parametrización del problema

Ahora que ya tenemos el problema, la idea es que utilizando algún programa que me permita darle valores aleatorios a las medidas de este para que cada estudiante tenga un problema del mismo tipo pero con valores diferentes. Este problema caería dentro del fenómeno conocido como transposición didáctica, es decir, transitar del saber sabio al saber enseñado. Pero, acá hay un nuevo elemento, que es la tecnología como medio, autores como Balacheff (1994) o más recientemente Lagrange (2004) hablan en este caso de transposición informática.

Primero hay que elegir qué medidas a parametrizar. En este caso particular, la solución del problema depende de las medidas del rectángulo ABCD. Por lo tanto plantearemos el problema en términos de a y b tal como lo muestra la figura 2

Rectángulo con parámetros

Figura 2: Rectángulo con parámetros

 

El enunciado, es el mismo que en el se presentó en un comienzo, salvo que ahora las medidas no son valores particulares.

Si planteamos la ecuación (1) en términos de a y b obtenemos:

a^2+x^2+a^2+(b-x)^2=b^2       (6)

Al desarrollar, reducir y simplificar obtenemos:

x^2-bx+a^2=0           (7)

Si pensamos que este problema se lo estamos planteando a estudiantes de un nivel en particular nos interesa saber:

  • ¿para qué valores de a y b la ecuación tiene solución?
  • ¿Para qué valores de a y b la ecuación tiene única solución?
  • ¿Para qué valores de a y b la ecuación tiene soluciones enteras?
  • ¿Para qué valores de a y b la ecuación tiene soluciones racionales?
  •  ¿Para qué valores de a y b la ecuación tiene soluciones irracionales?.

Todas las respuestas a estas preguntas producen producen problemas que tienen dificultades distintas y dependiendo del problema puede que la respuesta a estas preguntas no necesariamente sea sencilla.

¿Cuáles deben ser las medidas del rectángulo para que la ecuación tenga solución?

Para que la ecuación tenga solución necesitamos que el discriminante de la ecuación  (7) sea mayor o igual a cero, es decir:

b^2-4\cdot a^2 \ge 0

Al solucionar la inecuación (teniendo en cuenta como restricción que  a y b son positivos) obtenemos que la ecuación tiene:

  • Única solución si y sólo si b=2a
  • Dos soluciones diferentes si y sólo si b>2a
  • Solución vacía si y sólo si b<2a

Interpretación geométrica de las soluciones:

Si se soluciona el problema en términos geométricos es posible utilizar el siguiente resultado: Dados un segmento BC que a su vez es el diámetro de una semicircunferencia s. Dado un puntoM cualquiera  sobre la semicircunferencia, entonces el triángulo $BCM$ es rectángulo en M.

Por lo tanto las soluciones de la ecuación serán la intersección entre el rectángulo ABCD y la semicircunferencia s, tal como lo muestra la Figura 3 y que están simbolizadas por x_1 y x_2.

Interpretación geométrica de la cantidad de soluciones de la ecuación de segundo grado.

Figura 3: Interpretación geométrica de la cantidad de soluciones de la ecuación de segundo grado.

 

Se puede observar en la Figura 3 que:

  • Si el lado AB es menor que el radio r de la semicircunferencia entonces hay dos puntos de intersección, por lo tanto la ecuación tiene dos soluciones. Si AB=a y BC=b entonces r=b/2 y la condición anterior se puede expresar como: a<b/2 que es equivalente a la obtenida a la condición impuesta al discriminante.
  • De manera análoga, si AB es igual al radio r de la semicircunferencia entonces hay sólo un punto de intersección. Utilizando la notación anterior se obtiene a=b/2 que es equivalente  a la que se obtuvo al igualar a cero el discriminante de la ecuación.
  • Por último, si AB es mayor al radio r de la semicircunferencia entonces no hay puntos de intersección, por tanto, la ecuación no tiene solución. Al traducir la expresión anterior quedaría. a>b/2 que es equivalente a lo obtenido al analizar el discriminante.

¿Qué medidas debe tener el rectángulo para que las soluciones sean entera?

Ahora que sabemos que relación debe haber entre a y b para que el problema tenga única, dos o ninguna solución, quiero saber que otras condiciones debemos aplicar para que las soluciones sean enteras. Hay que observar que hay ciertos lenguajes, como por ejemplo WIRIS, que permiten hacer iteraciones hasta que se cumpla cierta condición, por ejemplo, teóricamente podríamos programar a y b aleatorios y que haga iteraciones hasta que \sqrt{b^2-4\cdot a^2} sea un número entero.

Pero hay que tener en cuenta que no sabemos a priori si tal condición se cumple, o como en este caso sabemos que hay al menos una solución a=2 y b=5, pero de todas formas, no sabemos que tan frecuente son las soluciones, por lo que si le ponemos una condición que sea mas bien rara, es posible que el sistema esté mucho tiempo buscando y la pregunta se despliegue lentamente en el navegador.  Por lo que es recomendable solucionar primero el problema matemático para luego programar la pregunta.

Recordemos que la ecuación en cuestión es:

x^2-bx+a^2=0           (7)

Cuyas soluciones están dadas por x_1=\dfrac{b+\sqrt{b^2-4\cdot a^2}}{2}x_2=\dfrac{b-\sqrt{b^2-4\cdot a^2}}{2} con b^2-4\cdot a^2 \ge 0.

Si el discriminante es cero, es decir, b^2-4 \cdot a^2 =0 entonces la única solución es x= b/2, por lo que si b es par entonces la solución es entera y si b es impar entonces la solución es un racional no entero.

Si el discriminante es positivo, le impondremos una condición menos fuerte para acercarse al objetivo de encontrar la soluciones enteras, concretamente buscaremos primeros las soluciones racionales y después veremos si es posible separarlas entre enteras y no enteras.

Para que la solución sea racional, necesitamos que \sqrt{b^2-4 \cdot a^2 } sea un número entero, es decir, necesitamos que \sqrt{b^2-4 \cdot a^2 }=k para algún k en los números enteros. Si eliminamos la raíz de la ecuación, nos queda b^2-4 \cdot a^2=k^2 . Esta última ecuación se puede reescribir de la siguiente forma:

b^2=k^2+ (2a)^2           (8)

Observe que esta ecuación se puede mirar como una terna pitagórica, por lo que necesitamos generar ternas pitagóricas donde b, k y 2a tienen que ser enteros.

Por lo tanto, encontrar soluciones racionales, se traduce en encontrar ternas pitagóricas y una forma de generarlas es la siguiente:

  • b=m^2+n^2       (9)
  • k=m^2-n^2       (10)
  • 2a=2mn             (11)

Con m y n son números enteros. Si, además, se tiene que m>n entonces las soluciones son positivas.

Recordemos que se tiene la restricción b>2a, al reemplazar (9) y (11) en la inecuación se tiene:

m^2+n^2>2mn           (12)

Al restar 2mn y factorizar se obtiene:

(m-n)^2>0            (13)

lo que se cumple si y sólo si m \neq n, como ya teníamos que m>n no agregamos ninguna condición adicional.

Ahora que ya sabemos que forma deben tener las medidas a y b del rectángulo para que las soluciones sean racionales, analizaremos finalmente, para que valores esas soluciones son enteras.

Reemplazando (9), (10) y (11) en x_1=\dfrac{b+\sqrt{b^2-4\cdot a^2}}{2}x_2=\dfrac{b-\sqrt{b^2-4\cdot a^2}}{2} tenemos:

x_1=\dfrac{m^2+n^2+(m^2-n^2)}{2}=m^2          (14)

y     x_2=\dfrac{m^2+n^2-(m^2-n^2)}{2}=n^2           (15)

 Por lo tanto si elegimos, m y n como números enteros aleatorios aleatorios, con m>n y con estos valores formamos a y b según las ecuaciones (9), (10) y (11) entonces las soluciones siempre serán enteras. Si queremos una solución racional, sólo necesitamos que m y n sean racionales.

La parametrización del problema se encuentra en le cuadro azul denominado Análisis Tecnológico, donde se muestra como se transfiere el resultado anterior a un software particular, en este caso a Moodle, WIRIS y GeoGebra.

¿Qué se espera del estudiante?

Se espera que el estudiante en un primer momento explore el applet y gráficamente pueda ver que hay dos soluciones. Para encontrarlas necesitará establecer la relación algebraica que caracteriza a los triángulos rectángulos, es decir, el teorema de pitágoras. La ecuación en términos a y b es:

x^2-bx+a^2=0

Cuyas soluciones están dadas por x_1=\dfrac{b+\sqrt{b^2-4\cdot a^2}}{2}x_2=\dfrac{b-\sqrt{b^2-4\cdot a^2}}{2} con b^2-4\cdot a^2 \ge 0.

Tal como se explica en los párrafos precedentes, el problema está programado para que las soluciones sean dos y enteras.

Referencias:

Balacheff 1994: Balacheff, N. (1994), Didactique et Intelligence Artificielle, Recherches en Didactique des Mathematiques, 14, vol 1-2, pp. 9-42.

Chevallard, Y. (1991). La transposición didáctica. Del saber sabio al saber enseñado, 1.

Lagrange, Artigue y Laborde 2003: Lagrange, J.B., Artigue, M., Laborde, C., Trouche, T. (2003). Technology and Mathematics Education : A Multidimensional Study of the Evolution of Research and Innovation. In, A.J. Bishop, M.A. Clements, C. Keitel, J. Kilpatrick and F.K.S. Leung (Eds.) Second International Handbook of Mathematics Education, pp. 239-271. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Lagrange 2004: Lagrange, J. B. (2004) Transposing computer tools from “mathematical sciences” into teaching. Some posible obstacles, In D. Guin; K. Ruthven, L. Trouche (eds), The didactical challenge of symbolic calculators: turning a computacional device into a mathematical instrument. Kluwer.

 

 

Información para uso y descarga

descarga

El primer problema se puede ver y descargar en la siguiente ventana:

 

Análisis Tecnológico

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Para poder utilizar estas preguntas o cualquier otra del Stem Collection de Wiris en un aula virtual propia o en la institución donde eres profesor necesitas:

  • Una plataforma Moodle
  • Instalar el plugin WIRIS QUIZZES en el Moodle

Una vez hecho esto podrás ver la pregunta tal cual como se ve en el video y modificar algo que no te guste de ella o crear otra a partir de esta misma.

Construiremos el problema dentro de la plataforma Moodle utilizando WIRIS Quizzes y un applet de GeoGebra. Lo ideal sería que el applet estuviese conectado para poner en el mismo problema los caso, con solución vacía, única y dos soluciones. Como tal cosa no es posible, sólo colocaremos el caso en que hay dos soluciones y la parametrizaremos para que tenga soluciones enteras.

Para esto seguimos los siguientes pasos:

Dentro del curso Moodle vamos a Bancos de Preguntas, presionamos Crear una nueva pregunta, elegimos Matemáticas y Ciencias – WIRIS y dentro de ella elegimos pregunta de respuesta corta y presionamos Continuar, tal como lo muestra la Figura 4.

Figura 4: Nueva pregunta respuesta corta Moodle - WIRIS

Figura 4: Nueva pregunta respuesta corta Moodle – WIRIS

 

Se nos abre la ventana de edición de preguntas donde se escribe el enunciado y se inserta el applet (elemento que se explicará más adelante).

Cabe observar que como mínimo hay que rellenar los campos:

  • Nombre de la pregunta (nombre referencial par profesores, los estudiantes no lo ven)
  • Texto de la pregunta (donde va el enunciado)
  • Respuesta
  • Calificación

El resto de los campos es opcional y permiten por ejemplo retroalimentar, dar pistas, etc.

Observen que en el enunciado hay elementos que tiene el símbolo #. Todas las letras o palabras que llevan este símbolo son los elementos aleatorios que se definen en una ventana que se despliega al presionar el botón amarilo de la Figura 5 .

Despliega algoritmo WIRIS

Figura 5: Con el botón amarillo de despliega el botón del algoritmo.

Al presionar este botón se despliega una ventana con 4 pestañas y en la pestaña Variables se despliega el algoritmo de la Figura 6.

Figura 6: Algoritmo de la pregunta

Figura 6: Algoritmo de la pregunta

Observe que el enunciado es muy sencillo y corto. Pero eso gracias al análisis matemático que hicimos antes. En este algoritmo no es necesario por ejemplo definir k o solucionar una ecuación, pues las soluciones ya las tenemos. Por tanto se definen las medidas del rectángulo y el conjunto solución.

Por último para insertar el applet de GeoGebra primero hay que tenerlo en el sitio de Geogebratube. Una vez dentro de la página donde está el recurso, presionamos incrustar, elegimos Moodle y luego Copiar al portapales.

Vamos al Moodle y en el espacio donde se escribe el enunciado de la pregunta presionamos el botón de código HTML y pegamos el código, cuando volvemos a la vista original el applet ya está inserto tal como lo muestra el gift de la figura 7. Luego se guarda la pregunta

Insertar applet de geogebra en Moodle

Figura 7: Insertar applet de geogebra en Moodle

Con esto nuestra pregunta está terminada. Sólo falta agregarle información al estudiante de cuál es el formato que se le pide para la respuesta.

Hay que tomar en cuenta que se pueden agregar  o cambiar algunos  elementos como retroalimentación, pistas, unidades, formato de la respuesta, entro otros, pero eso extendería aún más este artículo.

Limitaciones tecnológicas

La gran limitación que veo en este problema es no poder conectar GeoGebra con WIRIS de tal forma que los valores aleatorios que toman a y b se reflejen en la proporción del applet de GeoGebra. Esto no es importante sólo desde el punto de vista visual, si no que si se pudiera hacer se podrían poner valores aleatorios para que la pregunta tuviese única solución, dos soluciones o solución vacía. Como no es posible hay que hacerlas por separado, pero después de un tiempo de práctica los alumnos sabrán que hay una de cada una, por lo que no necesariamente la conclusión saldrá del análisis que hagan de la situación.

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