En este video se pueden apreciar 4 preguntas diferentes. En cada una de ellas la estructura es la siguiente:

Como información los alumnos tendrán dos gráficos con de 2 familias de curvas de nivel de una superficie dada. Como cada superficie tiene tres posibles vistas usuales: paralelas a los planos xy, xz e yz, las dos que se mostrarán serán elegidas en forma aleatoria, es decir, dada una superficie particular, a un estudiante le pueden aparecer curvas de nivel en los planos xy y xz, xy e yz o xz e yz.

Análisis Didáctico

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¿Qué se espera del estudiante?

En cada una de estas preguntas el estudiante debe identificar la superficie que se ajusta a las curvas de nivel que se muestran. Lo que se busca es que el alumno pueda visualizar la orientación de una superficie a partir de las curvas de nivel que se le muestran.

 

Primera pregunta:

En la primera pregunta las curvas de nivel corresponden a las vistas de un elipsoide de ecuación:

 

\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2}=1

 

donde sólo uno de los parámetros a, b o c valen 9 y el resto vale 3. Esta elección se hizo para que en los gráficos 3d se pudiera ver claramente en cuál de los 3 ejes (X, Y o Z) el elipsoide es más largo.

 

De acuerdo a lo anterior las vistas posibles serán familias de circunferencias o familias de elipses y con esta información el estudiante deberá visualizar la orientación del elipsoide.

 

Por ejemplo, en el video se muestran los planos xy e yz, en los cuales se puede observar que las familias de elipses están más alargadas en el eje x y más achatadas en los ejes x y z respectivamente, por lo tanto la superficie que se ajusta a esas curvas de nivel es la del eje y. Como la pregunta está construida con parámetros aleatorios, al estudiante le podría haber aparecido otra vista (la de planos paralelos al plano xz) o un elipsoide con una orientación diferente y por lo tanto con familias de curvas de nivel diferentes también.

 

Para las siguientes preguntas la estructura es similar, lo que cambia es la superficie a analizar:

 

Segunda pregunta:

Corresponde a curvas de nivel que se obtienen a partir de un hiperboloide de 2 hojas con alguna de estas ecuaciones:

 

\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2} -\dfrac{z^2}{c^2}=1 orientación hacia el eje X

 

\dfrac{y^2}{b^2} -\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{z^2}{c^2}=1 orientación hacia el eje Y

 

\dfrac{z^2}{c^2} -\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1 orientación hacia el eje Z

 

donde sólo el parámetros bajo el término positivo vale 9 y el resto 1. La elección de estos valores se hizo para que el gráfico 3D de la superficie se viera más claro.

 

Por ejemplo, en la iteración se muestran curvas de nivel de planos paralelos a los planos yz y xz. En el primer gráfico aparece una familia de circunferencias y en el segundo gráfico se observa una familia de hipérbolas y dos rectas orientadas hacia el eje x. Con la primera familia de curvas de nivel ya se puede observar que la orientación es hacia el ejex, con la segunda familia sólo se reafirma esa respuesta. Acá también les podría haber aparecido la vistaxy (que hubiese mostrado una familia de de hipérbolas y dos rectas) reemplazando cualquiera de las dos que se muestran en estos momentos.

 

Tercera pregunta:

Corresponde a curvas de nivel que se obtienen de un cono de alguna de estas ecuaciones:

 

\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2} -\dfrac{z^2}{c^2}=0 orientación hacia el eje Z

 

\dfrac{y^2}{b^2} +\dfrac{z^2}{c^2} -\dfrac{x^2}{a^2}=0 orientación hacia el eje X

 

\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{z^2}{c^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=0 orientación hacia el eje Y

 

donde sólo el parámetros bajo el término negativo vale 9 y el resto 1. La elección de estos valores se hizo para que el gráfico 3D de la superficie se viera más claro.

 

Las curvas de nivel que pueden aparecer pueden ser familias de hipérbolas junto a dos rectas y/o una familia de circunferencias.

 

En el ejemplo, aparece una familia de hipérbolas orientadas hacia el ejey junto a dos rectas y una familia de circunferencias en el primer gráfico, por lo tanto el cono está orientado hacia el ejey.

 

Cuarta pregunta:

Corresponde a curvas de nivel que se obtienen de un hiperboloide de una hoja de ecuación:

 

\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2} -\dfrac{z^2}{c^2}=1 orientación hacia el eje Z

 

\dfrac{y^2}{b^2} +\dfrac{z^2}{c^2} -\dfrac{x^2}{a^2}=1 orientación hacia el eje X

 

\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{z^2}{c^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1 orientación hacia el eje Y

 

donde sólo el parámetros bajo el término negativo vale 9 y el resto 1. La elección de estos valores se hizo para que el gráfico 3D de la superficie se viera más claro.

 

Las curvas de nivel que pueden aparecer pueden ser familias de hipérbolas junto a dos rectas y/o una familia de circunferencias.

 

En el ejemplo aparecen dos familias de hipérbolas, ambas orientadas en el eje y. Las variaciones que podría tener esta preguntas son las mismas que las anteriores.

 

Limitaciones:

El software permite que los parámetros de a, b y c en cada una de las ecuaciones de las superficies antes descritas varíen como uno quiera, pero si la variación no es controlada el los elementos asociados a la superficie no necesariamente se distingue en el gráfico. Como el gráfico que produce es una imagen hay que intentar que los gráficos que aparecen como alternativa sean distinguibles entre ellos. Habrá que esperar a que las alternativas producidas por el software sean gráficos dinámicos donde se pueda acercar, alejar y rotar la vista.

 

¿Qué otras limitaciones ven en las preguntas?

 

Ventajas y desventajas con respecto al trabajo en lápiz y papel:

En lápiz y papel es más sencillo trabajar en la dirección contraria, es decir, dada una ecuación que ellos hagan el gráfico, por lo que hacer una primera aproximación identificando curvas de nivel con superficies puede significar una buena forma de trabajo previo. Por otra parte la aleatoriedad permite que los alumnos exploren variaciones en las vistas, las orientaciones y las superficies.

Información para uso y descarga

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Para visualizar, descargar, utilizar y modificar las preguntas en tu propio Moodle puedes ir al  Stem Collection Wiris. Este video muestra específicamente las preguntas con el siguiente título:

  • 011: Curvas de nivel eje y: hiperboloide de 1 hoja y cono elíptico
  • 012: Curvas de nivel hiperboloide de 2 hojas: Dada curvas identificar superficie
  • 013: Curvas de nivel cono: Dada curvas identificar superficie
  • 014: Curvas de nivel hiperboloide de 1 hoja: Dada curvas identificar superficie

Análisis Tecnológico

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Para poder utilizar estas preguntas o cualquier otra del Stem Collection de Wiris en un aula virtual propia o en la institución donde eres profesor necesitas:

  • Una plataforma Moodle
  • Instalar el plugin WIRIS QUIZZES en el Moodle

Una vez hecho esto podrás ver la pregunta tal cual como se ve en el video y modificar algo que no te guste de ella o crear otra a partir de esta misma.
Los elementos aleatorios se configuran de acuerdo a una pequeña programación que es completamente modificable, por lo tanto lo que se muestra se puede cambiar y cualquier consulta de como hacerlo no duden en escribir

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