No es difícil notar que la mayoría de las veces los números complejos se trabajan desde el punto de vista algebraico, más aún la multiplicación entre ellos. En este artículo mostraremos una actividad donde los estudiantes podrán visualizar lo que sucede gráficamente al multiplicar dos números complejos cualesquiera. De esta manera el objetivo es que los alumnos representen y analicen por medio de la visualización la multiplicación de números complejos en el plano complejo. Para realizar lo anterior, se ha diseñado una actividad utilizando el software Geogebra, donde se utilizan deslizadores, medidas de argumentos y módulos de los números complejos.  

Análisis Didáctico

iconmonstr-calculator-icon-64

Actividad

Objetivo Parte I: Visualizar lo que ocurre gráficamente al multiplicar un número complejo por un escalar, por las potencias de i, y por un número imaginario. Grafique el complejo w igual a más b i y…

  1. Multiplique w por el complejo v subíndice 1 igual c más 0 i, c pertenece normal números reales. ¿Qué sucede con la gráfica de w al multiplicarlo por v subíndice 1? Justifique su respuesta
  • Multiplique w por las potencias de i. ¿Qué sucede con la gráfica de w al realizar la multiplicación? Justifique su respuesta
  • ¿Existe alguna regularidad respecto de los argumentos en el procedimiento realizado en b) para cada potencia? Justifique su respuesta
  • Multiplique w por el complejo v subíndice 2 igual 0 más c i,c pertenece normal números reales. ¿Qué sucede con la gráfica de w al multiplicarlo por v subíndice 2? Justifique su respuesta.

Al realizar esta última multiplicación representada en el plano complejo ¿De qué manera puedo relacionarla con las gráficas de las multiplicaciones realizadas en las actividades anteriores? Justifique su respuesta. Objetivo Parte II: Visualizar lo que ocurre gráficamente al multiplicar dos números complejos cualesquiera.   2. Multiplique el complejo w igual a más b i con v igual c más d i donde a coma b coma c coma d pertenece normal números reales.

  • ¿Existe alguna relación entre los módulos de los complejos w,v y la multiplicación de ellos? Justifique su respuesta
  • ¿Existe alguna relación entre los argumentos de los complejos w,v y la multiplicación de ellos? Justifique su respuesta
  • ¿Qué sucede con la gráfica de w al multiplicarlo por v? Justifique su respuesta

3. Grafique aproximadamente el complejo resultante de la multiplicación de los números complejos z subíndice 1 y z subíndice 2. complejos

¿Qué se espera del estudiante?

Parte I

  • En cuanto a la multiplicación por escalar se espera que el estudiante pueda visualizar que al multiplicar por un número real c pertenece paréntesis izquierdo menos 1 coma 1 paréntesis derecho, existe una contracción del módulo del número complejo, mientras que si se multiplica por un número c pertenece normal números reales menos paréntesis izquierdo menos 1 coma 1 paréntesis derecho módulo del vector resultante sufrirá una extensión.
  • Al multiplicar por potencias de i, se espera que el estudiante visualice una regularidad en la gráfica, ya que sólo se tendrán 4 posiciones del numero complejo, donde su argumento va variando de 90º en 90º, es decir el complejo inicial variará en 90º, 180º, 270º o 360º (donde llega a la posición inicial)
  •  Al multiplicar un número complejo por un número imaginario, se espera que el estudiante pueda visualizar que el argumento del vector resultante varía en 90º respecto del complejo inicial (porque se multiplica por i), y dependiendo del valor de c, puede sufrir una contracción o una dilatación, como se trabajó en la primera pregunta.

Parte II:

  • Se espera que el estudiante llegue a la conjetura de que el argumento del vector resultante de la multiplicación de (a+bi)·(c+di) es igual a la suma de los argumentos de los complejos iniciales, y el módulo del vector resultante de la multiplicación es igual a la multiplicación de los módulos de los complejos iniciales.

Lo anteriormente descrito es lo que el estudiante idealmente debe responder, en caso contrario:

  • Que el estudiante no logre visualizar la idea que se espera, el profesor puede proponer que este realice alguna multiplicación de manera algebraica, o que establezca una comparación donde pueda notar diferencias en los vectores resultantes de cada multiplicación.

¿Qué se espera del profesor?

Se espera que el profesor supervise la actividad para que esta se realice de forma fluida, tanto en lo tecnológico como en lo disciplinar. En el caso de que un estudiante no pueda llegar a la respuesta, el profesor debe formular preguntas para el estudiante, o ponerlo en una situación que provoque un quiebre cognitivo, lo cual lo dirija a contestar la pregunta.

Sugerencias para tener en cuenta:

  • Dar énfasis en las justificaciones de las respuestas, ya que éstas nos permitirán crear la discusión entre los estudiantes.
  • Trabajar con la definición “i^2=-1”, No con “i=√(-1) “.
  • Explicar con anterioridad a la actividad brevemente qué son y cómo utilizar los deslizadores de los parámetros de los números complejos (en general explicar como utilizar el software geobegra).

Para el cierre de la actividad se puede concluir con lo siguiente: Parte II:

  • “El argumento del vector resultante de la multiplicación de (a+bi)·(c+di) es igual a la suma de los argumentos de los complejos iniciales, y el módulo del vector resultante de la multiplicación de es igual a la multiplicación de los complejos iniciales” (Hacer demostración si es que no emerge de los estudiantes).
  • Esta actividad se puede realizar en secundaria sin utilizar la forma polar de un número complejo (es decir forma canónica o par ordenado), y en educación superior, se pueden utilizar además la forma de Euler y forma polar.

Información para uso y descarga

descarga

El primer problema se puede descargar en este enlace

   

Comments