En este video se muestra una pregunta donde el estudiante debe encontrar un punto del plano que esté a una distancia específica de un punto dado y que se encuentre en un cuadrante específico. La característica especial de esta pregunta es que esta admite infinitas respuestas posibles y el sistema puede identificar las infinitas!!!! respuestas posibles que satisfagan la condición.

Análisis Didáctico

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Lo tradicional cuando se hace una primera pregunta de distancias entre puntos es dar las coordenadas dos puntos y pedir la distancia entre ambos. Lo que lleva a aplicar la fórmula para obtener el resultado pedido.

 

En vez de lo anterior, en este artículo muestro otra posibilidad de pregunta, donde se invierte la forma, es decir, se da la respuesta y de pregunta uno de los datos para obtener esa respuesta y además es abierta, lo que específicamente que es un problema que admite infinitas soluciones.

 

¿Qué se espera del estudiante?

En el enunciado del problema se indica un punto P al interior de alguno de los cuatro cuadrantes y se pide encontrar otro punto A que esté a una distancia determinada del punto A y que se encuentre en un cuadrante específico. Este cuadrante dependerá de la ubicación del punto P, específicamente será el que está en diagonal con respecto al cuadrante donde está A.

 

Ejemplo:

  • “Se pide encontrar un punto que esté en el primer cuadrante y que además esté a 7 unidades del punto de coordenadas (-1,-4).”

 

 

Este problema se podría hacer desde un punto de vista geométrico, pero en ese caso las soluciones sería aproximadas. Esta forma consistiría en ubicar el punto (-1,-4) en un plano cartesiano, podría ser dibujado en una hoja de papel cuadriculada o en un programa de geometría dinámica (como GeoGebra, por ejemplo).

 

Una vez ubicado el punto, el estudiante podría construir una circunferencia con centro en el punto (-1,-4) y con radio igual a la distancia a la que se pide el otro punto, en este caso 7.

 

Al trazar la circunferencia, se observaría que hay infinitos puntos que se encuentra a esa distancia determinada, pero dentro de todos los puntos de la circunferencia tiene que elegir los que estén en el cuadrante específico en el que se pide el punto A, en este caso, en el primer cuadrante.

 

Cabe observar que la pregunta se programó para que el punto inicial estuviese en la parte interior de cualquiera de los cuatro cuadrantes y que el cuadrante en el que se pide el otro punto estuviese en diagonal con respecto al inicial. Esto se hizo porque si se pedía un punto que no estuviese en diagonal, era demasiado sencillo encontrar uno punto con esas características y se perdía la intencionalidad de la pregunta.

 

Si se traza una circunferencia y se marca el arco de circunferencia que corresponde al primer cuadrante se puede ver que son “muchos” (infinitos) los puntos que pueden ser la solución al problema planteado. Con una hoja cuadriculada o con un software de geometría dinámico como GeoGebra sería posible encontrar puntos aproximados que resuelvan el problema, a menos que haya una solución entera y que los estudiantes la visualicen. Lo ideal sería configurar la pregunta para que acepte estas respuestas aproximadas pero no entregue un puntaje completo, de tal forma que los alumnos se pregunten por una estrategia mejor para obtener el puntaje completo.

 

 

E6. Fig 1. Estrategia gráfica

Lo anterior llevaría a buscar una solución analítica, en la cual sería necesario aplicar la fórmula de distancia, la cual incluso se podría deducir a partir de este problema. En ese caso, el problema se podría reescribir en los siguientes términos:

 

Si (a,b) es el punto buscado y d la distancia entre dos puntos, entonces debe satisfacer la ecuación d((-1,-4),(a,b))=7, sujeto a las restricciones a>0 e b>0.

 

Al desarrollar la fórmula de distancia se obtiene que:

 

\sqrt{(a+1)^2+(b+4)^2}=7 \Leftrightarrow (a+1)^2+(b+4)^2=49

 

Para buscar soluciones de esta ecuación, podrían hacerlo dándose un valor de x o de y y despejar el otro, pero puede ocurrir que elijan valores iniciales que esté fuera de los dominios. Una alternativa que algunos podría utilizar sería la de apoyarse en el gráfico y pudiesen identificar el dominio de la variable x y de la variable y para luego reemplazar soluciones posibles.

 

Por ejemplo, en el video se muestran las siguientes parejas de soluciones:

  • Si a=1 entonces b=\sqrt{45}-4
  • Si a=3/2 entonces b=\dfrac{3\sqrt{45}}{2}-4
  • Si a=\pi entonces b=\sqrt{-\pi^2-2\pi+48}-4

 

Estas soluciones permiten visualizar que en el sistema se puede ingresar cualquier respuesta que satisfaga las condiciones y la cantidad de esas soluciones es infinita, por lo tanto cuando hay un gran número de estudiantes es interesante ver que tipo de soluciones ingresan.

 

Limitaciones

Una limitación es el hecho de no poder sincronizarlo con una ventana dinámica de geometría como GeoGebra o Cabri. Si fuese posible, los estudiantes podrían razonar la solución geométrica sin salir del ambiente de la pregunta. Lo ideal sería que el punto inicial no apareciera en una imagen y apareciera en una ventana donde los estudiantes pudiesen dibujar, acercar y alejar para conjeturar dentro del mismo espacio. Esto sin duda enriquecería el trabajo matemático de los estudiantes.

Información para uso y descarga

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Este problema se pueden ver y descargar aquí.

Análisis Tecnológico

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Para poder utilizar estas preguntas o cualquier otra del Stem Collection de Wiris en un aula virtual propia o en la institución donde eres profesor necesitas:

  • Una plataforma Moodle
  • Instalar el plugin WIRIS QUIZZES en el Moodle

Una vez hecho esto podrás ver la pregunta tal cual como se ve en el video y modificar algo que no te guste de ella o crear otra a partir de esta misma.

Los elementos aleatorios se configuran de acuerdo a una pequeña programación que es completamente modificable, por lo tanto lo que se muestra se puede cambiar y cualquier consulta de como hacerlo no duden en escribir.

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