En este video se muestra una pregunta con parámetros aleatorios y un applet de GeoGebra para introducir las inecuaciones y su solución.

Al estudiante se le presenta una ventana dinámica mediante la cual tiene que hacer una comparación y responder utilizando objetos matemáticos como los intervalos o las desigualdades de la forma:

  • [a,b] o x \ge a \wedge x \le b
  • [a,b) o x \ge a \wedge x < b
  • (a,b] o x > a \wedge x \le b

Análisis Didáctico

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Las inecuaciones son objetos matemáticos complejos que requieren de la movilización de múltiples representaciones, tanto de conversión como de tratamiento (Duval, 1995) y donde estas se deben coordinar para resolver los problemas planteados.

Por lo anterior no es extraño que los estudiantes tengan tantos problemas para resolver desigualdades y estás van desde la operatoria hasta el como expresar una solución y los profesores a su vez tengan problemas para introducir este tema (Borello, 2013).

El objetivo de esta pregunta es mostrar un problema asociado a una figura geométrica dinámica, donde los estudiantes tengan que comparar dos figuras que van cambiando de tamaño y donde de manera visual pueden resolver la inecuación.

El objetivo general, no es sólo trabajar con esta pregunta de manera aislada, sino que explotar de manera progresiva el mismo applet para que comiencen a aparecer otros objetos matemáticos relacionados a una inecuación, partiendo por un intervalo como en esta pregunta hasta llegar a la necesidad de plantear una inecuación cuadrática para resolver un problema de comparación de áreas que no se puede resolver de manera visual como el del ejemplo.

 

¿Qué se espera del estudiante?

El estudiante al explorar el applet podrá ver que las semicircunferencias de color verde y morada cambian de tamaño cuando se mueve el punto C. Después de eso tendrá que leer el enunciado para poder formular una respuesta.

Como el enunciado de la pregunta tiene dos elementos aleatorios: el tamaño del segmento AB y la frase asociada a la comparación entre las dos áreas, que puede ser: “mayor o igual”, “mayor”, “menor o igual” y “menor”. Hay que analizar estas variaciones para ver la diferencia entre las posibles respuestas.

El segmento AB se eligió con una variación entre los números pares que hay entre 10 y 20, de tal forma que los intervalos que hay como solución siempre fueran respuestas con números enteros y así no agregar la dificultad de las fracciones en este primer problema de introducción.

Por la característica de las semicircunferencias involucradas, los estudiantes podrán ver que la diferencia entre los tamaños de las dos áreas cambia en el punto medio entre A y B, por lo que todas las respuestas tendrán como uno de sus puntos frontera el punto L/2.

Como se indicó más arriba, la comparación entre las áreas puede variar entre “mayor o igual”, “mayor”, “menor o igual” o “menor” y cada una de estas variaciones presentará las siguientes soluciones:

  • El área de la semicircunferencia morada mayor o igual que el área de la semicircunferencia verde. Solución: [L/2,L] o x \ge L/2 \wedge x \le L.
  • El área de la semicircunferencia morada mayor que el área de la semicircunferencia verde. Solución: (L/2,L] o x > L/2 \wedge x \le L.
  • El área de la semicircunferencia morada menor o igual que el área de la semicircunferencia verde. Solución: [0,L/2] o x \ge 0 \wedge x \le L/2
  • El área de la semicircunferencia morada menor que el área de la semicircunferencia verde. Solución: [0,L/2) o x \ge 0 \wedge x < L/2.

Donde L es el tamaño del segmento AB.

 

 Otras preguntas posibles:

Con el mismo applet es posible hacer varias preguntas que comiencen a necesitar diferentes herramientas. Aquí mencionamos algunas, las cuales están ordenadas en orden de dificultad: 

Ejemplo 1:

Si x es la distancia desde A hasta C, ¿para qué valores de x el perímetro de la semicircunferencia amarilla es mayor o igual (podría aparecer también: “mayor”, “menor o igual” o “menor”) que el perímetro de las semicircunferencias morada y verde juntas?

Como la respuesta a esta pregunta no es obvia de manera visual, se tendrá que formular en términos de x por lo que, los estudiantes tendrán que aplicar la formula del perímetro de una circunferencia a cada una de las expresiones y al hacerlo podrán plantear una inecuación. Para ejemplificar, utilizaremos como ejemplo el caso en que se pregunte con la frase “mayor o igual” y con la medida del segmento AB igual a L:

\pi \cdot \dfrac{L}{2} \ge \pi \cdot \dfrac{x}{2} + \pi \cdot \dfrac{L-x}{2}

 Al resolver esta inecuación se obtiene que L\pi \ge L\pi, ahora tendrán que interpretar esta solución en términos del problema y entregar una solución en forma de intervalo.

Ejemplo 2:

Si x es la distancia desde A hasta C, ¿para qué valores de x el área de la semicircunferencia amarilla es mayor o igual (podría aparecer también: “mayor”, “menor o igual” o “menor”) que el área de la semicircunferencias morada (o verde)?

En este caso los estudiante deben plantear una comparación de áreas.

El área de la parte amarilla está dada por: A_1(x)=\pi \cdot \left(\frac{L}{2}\right)^2 - \pi \cdot \left(\frac{x}{2}\right)^2 - \pi \cdot \left( \frac{L-x}{2} \right)^2

El área de la parte morada está dada por A_2(x)=\pi \cdot \left(\dfrac{x}{2}\right)^2

Por lo que el estudiante debe resolver la inecuación A_1(x) \ge A_2(x), sujeta a la restricción 0 \le x \le L.

Ejemplo 3:

Si x es la distancia desde A hasta C, ¿para qué valores de x el área de la semicircunferencia amarilla es mayor o igual (podría aparecer también: “mayor”, “menor o igual” o “menor”) que la suma de las áreas de las semicircunferencias morada y verde?

En este caso utilizando las áreas A_1(x) y A_2(x) definidas anteriormente, para resolver el problema falta calcular el área de la parte verde, que viene dada por: A_3(x)=\pi \cdot \left(\dfrac{L-x}{2}\right)^2 por lo que la inecuación a resolver tomando como ejemplo el caso en que aparezca la frase “mayor o igual” sería: A_1(x) \ge A_2(x)+A_2(x).

Ejemplo 4:

También se pueden plantear preguntas en términos de los gráficos de las funciones asociadas, por ejemplo, si se presenta el applet y además el gráfico de las funciones (como en la figura de más abajo), los alumnos podrían responder sacando información del gráfico y analizando si la respuesta que obtienen es coherente con el applet dinámico.

E7. Img 2. Gráficas

Ejemplo 5:

Así como este problema, son muchos los problemas geométricos que se pueden utilizar, hay que pensar bien en su organización para que el primero que vayan avanzando en el desarrollo de los conceptos y objetos de una inecuación y que las soluciones tengan sentido en el contexto en que se presentan. Aquí dejo algunos de los que se pueden utilizar para desarrollar más problemas de este tipo:

E7. Img 6. 3 imágenes (Conflicto de codificación Unicode)

 

Bibliografía

Borello, M. (2013). Relación entre las concepciones del maestro y el aprendizaje de los alumnos en el caso de las desigualdades. Un estado del arte (Tesis Doctoral).

Duval, R. (1995). Sémiosis et pensée humaine: registres sémiotiques et apprentissages intellectuels. Berne: Peter Lang.

Duval, R. (1999). Representation, Vision and Visualization: Cognitive Functions in Mathematical Thinking. Basic Issues for Learning.

Duval, R. (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics. Educational studies in mathematics61(1-2), 103-131.

Información para uso y descarga

descarga

El primer problema se puede ver y descargar en la siguiente ventana:

Este problema se pueden ver y descargar aquí.

El applet de geogebra se puede descargar desde aquí.

Análisis Tecnológico

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Para poder utilizar estas preguntas o cualquier otra del Stem Collection de Wiris en un aula virtual propia o en la institución donde eres profesor necesitas:

  • Una plataforma Moodle
  • Instalar el plugin WIRIS QUIZZES en el Moodle

Una vez hecho esto podrás ver la pregunta tal cual como se ve en el video y modificar algo que no te guste de ella o crear otra a partir de esta misma.

Los elementos aleatorios se configuran de acuerdo a una pequeña programación que es completamente modificable, por lo tanto lo que se muestra se puede cambiar y cualquier consulta de como hacerlo no duden en escribir.

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