En el problema se espera que en base al cuadrado y triángulo del applet, los estudiantes puedan platear una ecuación de primer grado y aplicar técnicas algebraicas para resolverlo.

Análisis Didáctico

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Uno de los cursos a los que estoy asistiendo se denomina Didáctica del Algebra y en él se ha estado discutiendo sobre el modelo clásico con el que se introduce el álgebra en las instituciones escolares. Este modelo es principalmente mirar el álgebra como una aritmética generalizada.

 

En el contexto de la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD), Gascón (1993, 1993-1994 y 1999), Ruiz-Munzón, Bosch y Gascón (2010 y 2013) y Bolea (2003) caracterizan este modelo y ven las limitaciones que tiene, pero además proponen un modelo diferente para su introducción y desarrollo que intenta subsanar elementos ausentes en el enfoque tradicional.

 

Este nuevo enfoque está basado principalmente en la idea de introducir el álgebra como un instrumento de modelización sin reducirla sólo a la manipulación formal de expresiones algebraicas, a la resolución de ecuaciones o a ejercicios prototípicos de problemas de planteo.

 

En el artículo de Ruiz-Munzón et al (2013) se habla de distintas etapas en el proceso de algebrización funcional. El ejemplo que se muestra en el video estaría en la segunda etapa de este proceso, la cual se define como aquella en que los problemas están constituidos por una igualdad entre dos expresiones algebraicas con la misma incógnita y donde se requieren técnicas de cancelación para resolverlo.

 

¿Qué se espera del estudiante?

El estudiante en primer lugar deberá recordar como se calcula el perímetro de un cuadrado y de un triángulo (en particular un triángulo equilátero).

 

Lo segundo que tendrán que hacer es definir la incógnita, la que definirán probablemente en base a la distancia que se les pide . Cabe destacar que la incógnita no será un objeto abstracto, sino que estará asociado a una objeto visual bien concreto dado por el applet.

 

Una vez definida la incógnita, tendrán que plantear los perímetros en términos de esa incógnita, por ejemplo en los videos se muestran dos casos:

  • Caso 1: Si L=22 ¿A qué distancia debería estar C del punto A para que el perímetro del cuadrado sea el triple de perímetro del triángulo?

En este caso, se puede definir la incógnita x como la distancia entre estar C y A por lo que el perímetro del cuadrado es 4 \cdot x y el del triángulo 3\cdot (22-x).

 

  • Caso 2: Si L=24 ¿A qué distancia debería estar C del punto B para que el perímetro del cuadrado sea un tercio del perímetro del triángulo?

En este caso, se puede definir la incógnita x como la distancia entre estar C y B por lo que el perímetro del cuadrado quedaría como 4 \cdot (L-x) y el del triángulo como 3\cdot x

 

 

Otro elemento a trabajar será la relación entre los dos perímetros dada en el enunciado que terminará por definir la ecuación, por ejemplo en el primer ejemplo se pide que el perímetro del cuadrado sea el triple del perímetro del cuadrado, por lo que la ecuación quedará como:

 

4 \cdot x=3\cdot 3\cdot (22-x)

 

 

En el segundo caso, se pide que el perímetro sea un tercio, por lo que la ecuación estará dada por:

 

4 \cdot (L-x)=\dfrac{1}{3}\cdot 3\cdot x

 

 

Una vez planteadas las ecuaciones, los estudiantes deberán aplicar propiedades como la distributividad y la cancelación para poder resolverlo. En el caso de que en el enunciado aparezca: “el perímetro del cuadrado sea la mitad del perímetro del triángulo” o “el perímetro del cuadrado sea un tercio del perímetro del triángulo” además tendrán que trabajar con fracciones y por ejemplo amplificar la ecuación para simplificarla y eliminar los denominadores.

 

Lo que plantean los autores del enfoque de modelización funcional para la introducción del álgebra, es que las técnicas algebraicas usuales se estudien como una necesidad para resolver un problema específico y no que sean reproducciones mecánicas que muchas veces no tienen sentido para los estudiantes.

 

Además la ideal no es trabajar con un problema aislado, sino que enlazarlos con otros similares donde se necesiten otras técnicas de resolución y donde se vaya generalizando el problema, con lo por ejemplo puede aparecer la noción de parámetro.

 

Para ejemplificar lo anterior, se pueden explorar diferentes figuras que tengan una similitud con el primer problema pero donde aparezcan ecuaciones diferentes, necesiten técnicas algebraicas diferentes para ser resueltas o aparezcan otros parámetros de manera natural. Los applet que se muestran en el video que está en este enlace,  responde a esta idea de generalización del problema o utilización de una operatoria diferente.

 

 

Observaciones al problema

Cuando estaba a punto de publicar esta entrada, le mostré el problema a Fabienne, quien es una compañera de clase. Me hizo varias observaciones que comparto con ustedes:

  • Me preguntó porque estaba coloreado el interior de los objetos, que al aplicarlo con niños, ellos asociarían la figura a área y no a perímetro.
  • Me indicó otras preguntas que se podían hacer, no necesariamente en el mismo nivel escolar, pero si aprovechando el applet: estas fueran las ideas que me dio:
    • Determinar a qué distancia debe estar C del punto A para que los puntos B, D y F estén alineados.
    • Hacer preguntas asociadas al área, y en ese caso aparecerían ecuaciones de segundo grado.

 

Si por otro lado se trabaja con este applet aparece el concepto de parámetro pero este concepto aparecería de manera natural por la naturaleza del ejercicio.

 

Si ambos applet se complementan con WIRIS y Moodle, la aleatoriedad puede ofrecer a los estudiantes enfrentarse a diferentes variantes del mismo problema.

 

 

 

Este problema a su vez fue se hizo en base a uno ya existente del proyecto PEGAME (siglas en francés de: pour les Professeurs et leurs Elèves un Guide pour l’Apprentissage des Mathématiques et leur Enseignement) desarrollado por la École Normal Superior de Lyon y el Instituto Francés de Educación. El original se puede ver en aquí.

 

 

 

Bibliografía:

 

Bolea, P. (2003). El proceso de algebrización de las matemáticas escolares, 1–11.

 

Gascón, J. (1993). Desarrollo del conocimiento matemático y análisis didáctico: Del patrón análisis-síntesis a la génesis del lenguaje algebraico. Recherche En Didactique Des Mathématiques, 3, 295–332.

 

Gascón, J. (1994). Un nouveau modele de l’algebre elementaire comme elternative à l’ «Arithmétique généralisée», (37), 1993–1994.

 

Gascón, J. (1999). La naturaleza prealgebraica de la matemática escolar. Educación Matemática, 11(1), 77–78.

 

Ruiz-Munzón, N., Bosch, M., & Gascón, J. (2010). La algebrización de los programas de cálculo aritmético y la introducción del álgebra en secundaria. En M.M. Moreno, A. Estrada, J. Carrillo, & T.A. Sierra, (Eds.), Investigación En Educación Matemática XIV, (1), 545–556.

 

Ruiz-Munzón, N., Bosch, M., & Gascón, J. (2013). Un modelo epistemológico de referencia del álgebra como instrumento de modelización. CRM Documents, 10, 743–765.

 

Información para uso y descarga

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    • Este problema se pueden ver y descargar aquí.

  • El applet de geogebra del primer video se puede descargar desde aquí.
  • El primer applet del segundo video se puede descargar acá y el segundo applet del segundo video se descarga aquí.

Análisis Tecnológico

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Para poder utilizar estas preguntas o cualquier otra del Stem Collection de Wiris en un aula virtual propia o en la institución donde eres profesor necesitas:

  • Una plataforma Moodle
  • Instalar el plugin WIRIS QUIZZES en el Moodle

Una vez hecho esto podrás ver la pregunta tal cual como se ve en el video y modificar algo que no te guste de ella o crear otra a partir de esta misma.

Los elementos aleatorios se configuran de acuerdo a una pequeña programación que es completamente modificable, la cual se muestra en este video:

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