Este applet permite la modelización funcional a partir de la covariación entre magnitudes geométricas. En este medio de geometría dinámica podemos observar que el area de los dos los triangulos azul y verde dependen de la magnitud del segmento mobil FM. En este contexto la variable independiente es la magnitud del segmento FM y las dependientes serían los valores de las áreas respectivas. En la vista gráfica 2 podemos observar el lugar de puntos que esta dependencia genera, y por lo cual las funciones generadas son una lineal y la otra afin con la restricción de que la variable independiente FM debe estar entre 0 y 12 cm.

 

Análisis Didáctico

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Esta tarea de exploración en geometría dinámica (Restrepo, 2008) corresponde a una situación concebida para el módulo de Modelación funcional en el marco del proyecto europeo de formación de profesores EdUmatics (en inglés: (European Development for the use of Mathematical Technologies in Classroom. Ver la web: http://www.edumatics.eu/), proyecto colaborativo de formación de profesores entre siete países de la Unión Europea (UE) durante los años 2009 – 2012.

En un contexto de dependencia entre magnitudes geométricas (modelización funcional geométrica) de esta situación emergen una función lineal y una función afín. Así, por ejemplo, las áreas de los triángulos azul y verde dependen de la magnitud del segmento FM que representa la altura del triángulo azul y que en nuestro caso corresponde a la variable independiente llamada arbitrariamente . Mientras que el segmento MG correspondiente a la altura del triángulo verde, tendría por altura . Así los siguientes modelos funcionales emergen:

  • Área del triángulo azul: A_{MAD}(x)=6x; \forall 0 \le x \le 12
  • Área del triángulo verde:  A_{MAR}(x)=72-6x; \forall 0 \le x \le 12

Esta situación permite un juego entre el cuadro geométrico y funcional a partir del contexto en el cual fue concebido (Douady, 1980), es decir, a partir de una situación dada en un cuadro geométrico se va induciendo al estudiante a entrar en un cuadro de modelación funcional. Por otra parte, se incita a la utilización de un vocabulario preciso y propio del pensamiento funcional y el estudio de las funciones desde un punto de vista puntual (como las nociones de antecedentes e imagen) y desde el punto de vista global (como las nociones de dominio y rango) (Vandebrouck, 2011).

Además la utilización de diversos registros de representación semióticas propias de la noción de función pudieran ser consideradas con esta situación (Duval, 1993, 1999). Así, por ejemplo, pueden representarse las dos relaciones funcionales descritas en tablas a partir de valores puntuales de las variables dependientes e independientes, el registro algebraico determinando las expresiones correspondientes y el registro gráfico.

Por último, la situación propuesta permite diferenciar entre la función de variable real y el modelo matemático que representa la solución del problema en un contexto dado, lo que hace necesario restringir las imágenes y el dominio en el modelo, este aspecto es importante cuando se estudia la modelación matemátic

 

Potencialidades de un medio de geometría dinámica para esta situación

Un medio de geometría dinámica como el GeoGebra permite no solo visualizar la variedad de triángulos azul y verde que se obtienen a medida que varía la distancia FM a través de un cursor. También la utilización de una segunda vista gráfica y la vista hoja de cálculo podrían coadyuvar y estimular el pensamiento funcional en los estudiantes, así como también conjeturar la noción de dependencia funcional. En efecto, la noción de dependencia funcional puede ser estimulada con el registro automático en hoja de cálculo de los valores de las variables dependientes (Áreas de los triángulos:  y ) e independientes (valores de la magnitud del segmento FM, ). Además con la herramienta lugar de puntos se pueden graficar en una segunda vista gráfica la pareja de puntos que genera esta dependencia funcional  y  permitiendo así comprender el concepto de función como un conjunto de pares ordenados en el plano.

Por otra parte, GeoGebra a través del comando: permite graficar solo la porción de la recta que es solución de la situación (el modelo matemático). Así, dentro de este contexto de modelación geométrica la utilización de GeoGebra permite una primera aproximación de variación con una idea de dependencia funcional que puede quedar implícita.

 

¿Que se espera del estudiante?

Del estudiante se espera que logre conjeturar las relaciones de dependencia funcional que emergen del contexto visualizando en la vista gráfica 2 los lugares de puntos generados por las relaciones funcionales y su correspondiente lugar geométrico. Nosotros hemos previsto a priori dos funciones, una lineal y la otra afín. ¿Qué otras funciones piensan ustedes que se pueden generar? ¿Qué preguntas podemos hacerles a los estudiantes?

 

Experiencia de la implementación del recurso con alumnos de tercer año de colegio en Francia

Esta tarea, con algunos cambios, ha sido experimentalmente implementada con 25 estudiantes de tercer año del colegio Víctor Shoëlder en Lyon, Francia  (alumnos de 14 años de edad).  Para el momento la tarea había sido concebida solo para pedir a los alumnos registrar los valores de del segmento FM y las áreas azul y verde utilizando la hoja de cálculo de GeoGebra.  Los alumnos emitieron conjeturas del tipo: “lo que gana el triángulo verde lo pierde el triángulo azul y viceversa”. Además graficaron la pareja de puntos generados en una segunda vista gráfica y determinaron las expresiones algebraicas de dos maneas: 1) haciendo uso de la herramienta regresión de puntos; 2) trazando la recta con la herramienta recta entre dos puntos. Cabe destacar que la segunda estrategia no había sido prevista a priori.

Limitaciones del applet GeoGebra

En este applet GeoGebra solo se muestran los lugares geométricos de dos relaciones funcionales de primer grado. Por otra parte, la tarea se desarrolla en un contexto del diseño de la portada de un CD de medida fija (12 x 12 cm).

Referencias

Duval, R. (1993). Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée. Annales de didactique et des sciences cognitifs, 5, p. 37 – 65. IREM de Strasbourg.

Duval, R. (1999). Representation, vision and visualization: cognitive functions in the mathematical thinking. Basic issues for learning. In F. Hitt y M. Santos (Eds.), Proceedings of the 21st North American PME Conference, 1, 3-26.

Douady R. (1986). Jeux de cadres et dialectique outil – objet. Recherches en Didactique des Mathématiques. Vol 7.2, Grenoble, La pensée sauvage.

Restrepo, A. (2008). Genèse instrumentale du déplacement en géométrie dynamique chez les élèves de 6ème. Thèse de doctorat, Université Joseph Fourier.

Vandebrouck, F. (2011). Des technologies pour l´enseignement et l´apprentissage des fonctions du lycée à l´université : activité des élèves et pratique des enseignants. Note de synthèse pour habilitation à diriger recherche (HDR). Paris. IREM Paris 7.

 

 

Información para uso y descarga

descarga

El applet de geogebra se puede descargar desde aquí.

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