Supongo que no sorprenderé a ningún profesor de cálculo si afirmo que los alumnos se topan con grandes dificultades al pasar del estudio de funciones en una variable al estudio de funciones en dos o más variables. De hecho existen múltiples estudios que se preocupan por estas dificultades e intentan proponer abordajes alternativos para superar dichas dificultades (por ejemplo, Götte & Mántica, 2013; Pulido & Zambrano, 2010).

 

Duval advierte acerca de la necesidad de la articulación entre diversos registros de representación semiótica para el dominio de los objetos matemáticos:

 

“La actividad matemática requiere que aunque los individuos empleen diversos sistemas de representación semiótica (registros de representación), sólo elijan una según el propósito de la actividad. En otras palabras la actividad matemática requiere una coordinación interna, que ha de ser construida, entre los diversos sistemas de representación” (Duval, 2006).

 

Esta articulación resulta un poco más compleja al implicar objetos del espacio tridimensional, en particular el trabajo con el registro gráfico, que requiere la representación en perspectiva de objetos tridimensionales (nuevos para el alumno) en el plano, razón por la cual muchos alumnos optan por evitar el trabajo en el dicho registro y se abocan exclusivamente al trabajo algebraico.

 

En la actualidad, la existencia de recursos informáticos que permiten graficar con facilidad este tipo de objetos, puede ser útil para promover el uso por parte del alumno del registro gráfico.

 

De acuerdo con Moreno Armella y Lupiáñez (2001) este tipo de representaciones permiten superar el carácter estático que poseen los sistemas de representación tradicionales. Ellos las llaman representaciones ejecutables y afirman que tienen la virtud de ser manipulables, que permiten actuar directamente sobre ellas, es posible intervenirlas matemáticamente. Y así, “las ideas y conceptos abstractos de las matemáticas se convierten en reales”. En este mismo sentido, Hohenwarter (2014) expresa que las representaciones estáticas pueden dar cuenta solamente situaciones fijas, mientras que las dinámicas permiten una transformación y manipulación de las mismas que ayudan a los estudiantes a desarrollar de mejor manera sus representaciones internas (mentales).

 

En el caso de la noción de límite de una función de dos variables, aparecen cuestiones absolutamente contraintuitivas que son aceptadas acríticamente por los alumnos y reproducidas en los exámenes pese a que no son profundamente comprendidas por parte de ellos. Por ejemplo: “Para ciertas funciones de dos variables, el límite cuando (x,y) tiende a (x0,y0) depende de la trayectoria por la cual nos acercamos a (x0,y0)”. O peor aún: “En algunos casos, dicho límite da lo mismo al acercarse por cualquier recta que pase por (x0,y0) y sin embargo, no da lo mismo al acercarse por otro tipo de trayectorias”. Cuando yo era estudiante, que el profesor dijera esto y que me lo confirmaran mis cálculos, no me producía más que una enorme… ¡disonancia cognitiva! ¿Cómo podría ser la gráfica de una función a la que le pasara esto?

Análisis Didáctico

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¿Qué se espera de los estudiantes?

Hoy por hoy, puedo ofrecerles a mis alumnos recursos como este para facilitar su comprensión. A partir de este applet, se espera que el alumno reinterprete gráficamente los resultados de sus cálculos analíticos, articulando los registros gráfico y algebraico. Asimismo que incorpore el software GeoGebra como una herramienta cognitiva, que no solamente le permita visualizar este caso particular.

Gracias a un software como GeoGebra, es sumamente simple para mí la creación de este tipo de recursos, y también resulta simple compartirlos (a través de GeoGebraTube) y que los alumnos puedan utilizarlo, explorarlo, modificar las funciones que propongo como ejemplo. Además, poder realizarlo con un software libre y gratuito como es GeoGebra, es también una gran ventaja.

Análisis de resultados

Si bien este applet que he mostrado no deja de ser una mera mostración, he notado que este tipo de recursos acercan a algunos alumnos a este tipo de herramientas y los ayuda a adoptarlas como instrumentos cognitivos, ya que les muestra la utilidad de los mismos para su propio aprendizaje y la facilidad de su utilización (utilidad y facilidad son para Pedró (2011) condiciones necesarias para la adopción de una solución tecnológica). Estos alumnos se atreven a jugar luego con el programa GeoGebra, a poner a prueba lo que calculan, a interpretar los gráficos que obtienen.

Lamentablemente, no es una mayoría la que logra apropiarse de esta herramienta de este modo, dando un paso más allá de la utilización de estos recursos. Muchos prejuicios tales como que las herramientas informáticas obstaculizan el razonamiento matemático o impedirán luego el aprendizaje de la representación gráfica a mano están presentes en el estudiantado y les impide apreciar las ventajas de aprender con estas herramientas. Pero todo esto es todavía muy nuevo (en términos relativos, por supuesto) y queda mucho camino por recorrer y desafíos por afrontar.

Referencias:

Duval, R. (2006). Un tema crucial en la educación matemática: La habilidad para cambiar el registro de representación semiótica. La gaceta de la RSME, 9(1), 143-168. Götte, M., & Mántica, A. M. (2013). Estudio de particularidades del aprendizaje de la geometría tridimensional. Revista de Educación Matemática, 28.

Hohenwarter, M. (2014). Multiple representations and GeoGebra-based learning environments. Union. Revista Iberoamericana de Educación Matemática, 39, 11-18.

Moreno Armella, L., & Lupiáñez, J. L. (2001). Tecnología y representaciones semióticas en el aprendizaje de las matemáticas. En P. Gómez & L. Rico (Eds.), Iniciación a la investigación en didáctica de la matemática. Homenaje al profesor Mauricio Castro (1º ed., pp. 291-300). Granada: Universidad de granada.

Pedró, F. (2011). Tecnología y escuela: Lo que funciona y por qué Semana monográfica de la educación: La educación en la sociedad digital. Fundación Santillana, Recuperado de http://www.fundacionsantillana.com/upload/ficheros/noticias/201111/documento_bsico.pdf

Pulido, W., & Zambrano, J. (2010). Uso de Recursos Educativos Abiertos para comprender las características de las gráficas de funciones de dos variables. En M. S. Ramírez Montoya & J. V. Burgos Aguilar (Eds.), Recursos Educativos Abiertos en ambientes enriquecidos con tecnología. Innovación en la práctica educativa. (pp. 164-182). México: Tecnológico de Monterrey.

Información para uso y descarga

descarga

El primer problema se puede ver y descargar en la siguiente enlace:

http://www.geogebra.org/material/simple/id/1279013

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