Modelación funcional con trigonometría

Modelación funcional con trigonometría: aplicación del teorema del coseno

Este video muestra una pregunta de modelación funcional con trigonometría donde los estudiantes deben observar un pistón que se mueve dinámicamente gracias a GeoGebra y luego responder preguntas con parámetros aleatorios asociadas a una distancia que se destaca en la ventana dinámica en una plataforma con Moodle y Wiris. Para poder responder esta pregunta los estudiantes deben hacer ciertas elecciones y en función de esas elecciones aplicar distintos teoremas.


Análisis Didáctico

iconmonstr-calculator-icon-64

 

Modelación funcional

Este applet se puede abordar desde distintas aristas y se puede utilizar para introducir varios conceptos interrelacionados, como por ejemplo: el teorema del coseno, funciones trigonométricas, funciones periódicas, funciones paramétricas (cuando se introduce la variable tiempo) y razón de cambio, entre otras. En un próximo artículo quiero abordar el applet desde alguna de estás posibilidades, pero aún no me decido por cual. La idea es que este applet no se utilice de manera aislada, sino que a medida que los temas matemáticos avances, se puedan hacer nuevas preguntas sobre este objeto. En este caso se utilizará de forma general el applet para trabajar la modelación funcional en trigonometría y en particular para trabajar la aplicación del teorema del coseno para resolver preguntas específicas.

¿Qué se espera del estudiante?

Se plantean cuatro preguntas utilizando Wiris y Moodle. En las dos primeras al estudiante se le pide información sobre alguno de los ángulos donde la distancia D alcanza el máximo o mínimo (sólo se pedirá una de las dos y esa opción será aleatoria) y también se le pedirá la distancia máxima o mínima que alcanza D. En la tercera y cuarta pregunta se les pide elegir un ángulo cualquiera (excepto al solicitado en el punto anterior) y la distancia que alcanza para ese ángulo elegido. Por lo tanto esta pregunta es abierta, pues tiene literalmente infinitas posibilidades para elegir. Para las cuatro preguntas se les entrega un applet dinámico de un pistón como el de la figura que se muestra a continuación y además las medidas del radio del disco del pistón que llamaremos r1, y el largo de los brazos AB ( que llamaremos L1) y el brazo BP(que llamaremos L2). Todos estos valores son aleatorios, los valores que toman y la razón por lo que se eligieron se detalla en el recuadro azul que está más abajo y que se denomina Análisis Tecnológico.

Modelación funcional con trigonometría
Modelación funcional con trigonometría

Con esta información, para los dos primeras preguntas, los estudiantes pueden encontrar la solución sólo observando el pistón. Encontrar el o los ángulos para los cuales la distancia es máxima o mínima es directo, en cambio encontrar la distancia máxima o mínima no lo es y tienen que obtenerlo en el caso de la distancia máxima sumando las distancia de los brazos y del radio y en el caso de la mínima trabajando con una resta entre el L_1 y r y sumándole la distancia $L_3$. La tercera y cuarta pregunta me parecen más interesantes desde el punto de vista cognitivo y desde el punto de vista tecnológico. Desde el punto cognitivo el hecho de que los estudiantes puedan elegir, podrá mostrar si utilizan alguna estrategia para elegir o sólo toman un ángulo cualquiera y no diferencian que hay ciertos ángulos para los que es más fácil calcular. Por ejemplo, para los ángulos 0^{\circ} y 180^{\circ} se puede hacer por simple inspección. Para los ángulos 90^{\circ} y 270^{\circ} se puede hacer mediante Pitágoras y para el resto de los ángulos aplicando el teorema del coseno y después resolviendo una ecuación de grado 2. Desde el punto de vista tecnológico también es interesante el hecho de que le de a elegir entre un rango infinito de posibilidades. ¿Cómo lo hace el software para saber si la respuesta del estudiante es correcta o incorrecta? Obviamente no puede ser haciendo una lista de ángulos y distancia, porque esa lista sería infinita. El detalle de cómo se configura esta parte aparece en el recuadro azul denominado Análisis Tecnológico.

Unidades en las respuestas:

El sistema de Wiris permite entregar respuestas con unidades y sus equivalentes, así por ejemplo, en los espacios donde el estudiante debe ingresar un ángulo, este puede ser ingresado en grados sexagesimales o en radianes. Para el caso de las distancia, todo está puesto en cm, pero si un estudiante ingresara la respuesta en metros, es decir, la respuesta dividida por 100 por lo que podría por ejemplo ingresar como respuesta 13 cm o 0.13 m o cualquier conversión dentro del sistema métrico decimal.

Modificaciones de la pregunta:

Ahora, la pregunta funciona como medio a-didáctico en el sentido de Brusseau (1998), por lo que los alumnos tarde o temprano encontrarán que hay ángulos para los que es más sencillo calcular la distancia. Por lo anterior, sería interesante como segunda parte, proponerles el mismo problema, salvo que no puedan elegir ninguno de los ángulos para los cuales es “más sencillo” calcular la distancia D y sólo dejar como opción de respuesta los ángulos donde deben aplicar el teorema del coseno. También se puede modificar la información de entrada y entregar información de alguno de los otros dos ángulos del triángulo OAB de tal forma que tengan que aplicar el teorema del coseno de manera diferente o simplemente otro teorema trigonométrico para resolverlo. ¿Qué modificaciones harían ustedes para este problema?

Referencias:

BIEMBENGUT, M., & HEIN, N. (2004). Modelación matemática y los desafÍos para enseñar matemática. Educación Matemática , 16 (002), 105-125. BLUM, W., GALBRAITH, P. L., HENN, H.-W., & NISS, M. (Eds.). (2007). Modelling and aplications in mathematics education. The 14th ICMI Study. New York: Springer. BROUSSEAU (1998), Théorie des Situations Didactiques, La pensée sauvage.


Información para uso y descarga

descarga

El applet de geogebra se puede descargar desde aquí.

Este problema se puede ver y descargar aquí,

pero también se muestra a continuación para interactuar directamente en ella.


Análisis Tecnológico

iconmonstr-gear-10-icon-64

Para poder utilizar estas preguntas o cualquier otra del Stem Collection de Wiris en un aula virtual propia o en la institución donde eres profesor necesitas:

  • Una plataforma Moodle
  • Instalar el plugin WIRIS QUIZZES en el Moodle

Una vez hecho esto podrás ver la pregunta tal cual como se ve en el video y modificar algo que no te guste de ella o crear otra a partir de esta misma.

Los elementos aleatorios se configuran de acuerdo a una pequeña programación que es completamente modificable y que se detalla a continuación.

Para poder evaluar la respuesta se utiliza una opción dentro de las preguntas de respuesta corta que se llama función de calificación.

En esta función de calificación se ingresan las condiciones que queremos se cumplan y que se comparen con la respuesta del estudiante. En este caso en el espacio donde se define el algoritmo de la pregunta la función de calificación sería la línea que comienza con test…, y aparece al final de la siguiente figura.

Algoritmo WIRIS problema de modelación funcional con trigonometría.
Algoritmo WIRIS problema de modelación funcional con trigonometría.

 

¿Qué significan cada una de las líneas?

  • r1=aleatorio(3,6) es el radio del pistón, puede tomar valores enteros en el rango 3 y 6, incluyendo ambos.
  • L1=r1+aleatorio(2,5) es el largo del brazo AB, y se definió así para que siempre este valor fuese mayor que el radio del disco. Por lo que tomará el valor del radio del disco y se le sumará un valor aleatorio entre 2 y 5.
  • L2=aleatorio(1,3) es el largo del lado
  • (f(x)=r1 \cdot cos(x)+\sqrt{L1^2+r1^2 \cdot cos(x)^2-r1^2}+L2)cm es la función que establece la relación entre el ángulo x y la distancia f.
  • Ma=(r1+L1+L2) cm es la distancia máxima que alcanza D y que está en función de los parámetros de las tres primeras líneas.
  • Mi=(L1-r1+L2) cm es la distancia mínima que alcanza D y que está en función de los parámetros de las tres primeras líneas.
  • R1=\left\{ \dots \right\} es una relación que asignará al número 1 la palabra mínima y al número 2 la palabra máxima.
  • w1=aleatoio(1,2) es una variable auxiliar que puede tomar los valores 1 o 2.
  • texto1=R1(w1) es la evaluación de la relación R1. En general,  las relaciones definidas con el formato R1=\left\{ \dots \right\} se pueden evaluar tal como una función. Por lo que la variable texto1 es la relación R1 evaluada en w1. Esto hará que al estudiante le aparezca la pregunta en términos del mínimo o máximo de manera aleatoria.

Antes de seguir, hay que indicar que en el espacio donde se define la respuesta, se define según la imagen que aparece más abajo:

Respuesta correcta en problema de modelación funcional con trigonometría.
Respuesta correcta en problema de modelación funcional con trigonometría.

Los símbolos \theta_1, \theta_2 son las etiquetas para los ángulos, D(\theta_1) y D(\theta_2) son las etiquetas para las distancias en función de los ángulos \theta_1 y \theta_2. Ahora cada una de las tiquetas están igualadas a a1, d1, a2 y d2 respectivamente. Como la respuesta no es única y depende de ciertas condiciones, no es necesario definirla, pero hay veces en que el cuestionario de Moodle entrega por defecto una respuesta y para que no entregue una letra como respuesta se definirán más abajo.   Con esta “pequeña introducción se define la parte final del algoritmo, se define un condicional si… sino, que definirá una función de evaluación dependiendo del valor de w1, que recordemos, que vale 1 si al estudiante se le pregunta por la distancia mínima y 2 si se le pregunta por la distancia máxima.   Por lo tanto si w1=1 se define:

  • a1=0^{\circ} el ángulo en el que la distancia es mínima.
  • d1=Mi es la distancia mínima que alcanza D para el ángulo definido en el punto anterior.
  • test(x,y,a,b):=(f(x)=Mi ) \wedge y=Mi\wedge f(a)=b\wedge f(a)\neq Mi\wedge b\neq Mi )? Todos los puntos anteriores son un preámbulo para este comando que a mi parecer es simplemente genial, porque mediante condiciones se pueden establecer cuáles son las respuestas correctas de los estudiantes. Desglosaremos cada parte de este comando para que se entienda como funciona. La estructura general del comando es nombre(respuestas):=(condiciones)?:
    • En este caso el nombre de la función de calificación corresponde a test.
    • Como a los estudiantes se les piden cuatro respuestas, a cada una se le asigna una letra, en este caso x, y ,a, b.
    • Luego se definen 5 condiciones, el detalle de cada una de ellas es:
      • f(x)=Mi esta condición toma la primera respuesta del estudiante (denominadax) y la evalúa en la función f para ver si es igual al mínimo Mi.
      • y=Mi esta condición toma la segunda respuesta del estudiante (denominada y) y la compara con el mínimo Mi.
      • f(a)=b esta condición toma la tercera respuesta del estudiante, la evalúa en la función f y la compara con la cuarta respuesta del estudiante para ver si preimagen e imagen se corresponden.
      • f(a) \neq Mi es para que la tercera respuesta del estudiante no sea un ángulo para el cuál la distancia D es mínima.
      • b \neq Mi es para que la cuarta respuesta del estudiante no sea la distancia  D mínima.

De manera análoga se definen cada uno de los elementos cuando w1=2. Por último se definen a2=aleatorio(10,350)^{\circ} y d2=f(a2)*1.0 para que en el caso de que se configure el cuestionario de Moodle para mostrar la respuesta, muestre una de las tantas posibles que hay. Observe que se colocó la condición que sea distinta de 180^{\circ} para que no tome el valor mínimo y tampoco se mostrará ni 0 ni 360 grados.

2 comentarios en “Modelación funcional con trigonometría: aplicación del teorema del coseno”

  1. Interesante pregunta, ya que el alumno puede responderla utilizando diversas herramientas matemáticas, a saber, teorema de pitágoras, teorema del seno, propiedades de la circunferencia, etc. No es necesario encontrar la función para poder responderla.
    Una observación sobre la pregunta es que, posiblemente, sería bueno pedirle que $\theta_1$ y $\theta_2$ esten en el intervalo ]0,360] ya que el alumno podría elegir $\theta_1=0$ y $\theta_2=360$ por ejemplo y no habría contradicción con el enunciado, y esto obviamente desviaría el objetivo del problema (creo).

  2. había pensado en un principio hacerlo de esa forma, pero pensé como alternativa hacer esta preguntas un poco más libre y ver qué eligen, incluso ver si son capaces de obtener las más obvias y como segunda pregunta colocar ciertas restricciones para que sigan siendo infinitas posibilidades pero en un espectro más acotado

Los comentarios están cerrados.