Obtener términos de una secuencia definida recursivamente

 

Esto se acrecienta aún más teniendo en cuenta que gran parte del tiempo que se dedica al tema de las  secuencias se utiliza en estudiar las progresiones aritméticas y geométricas y es un tema, que creo yo, que se debería profundizar más, sobre todo pensando en que muchos algoritmos utilizados en ciencias, administración, contabilidad e ingeniería funcionan bajo la recursividad.

En cada una de las preguntas que se muestra acá, el estudiante tiene que evaluar secuencias definidas recursivamente. Para resolver el problema, el estudiante debe obtener el término solicitado, haciendo el recorrido desde el primero hasta el que se les está pidiendo.


Análisis Didáctico

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¿Qué se espera del estudiante?

El estudiante en cada una de las preguntas debe evaluar la secuencia e ir obteniendo los términos sucesivos en función del anterior o de los anteriores.

Pregunta 1:

En esta pregunta la secuencia por recurrencia está definida por la fórmula:   a subíndice n igual abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos columna a celda s i espacio n igual 1 fin celda columna celda b por a subíndice n menos 1 fin subíndice más c fin celda celda s i espacio n mayor que 1 fin celda fin tabla cerrar Donde a es un número entero que varía entre -5 y 5 (incluyendo ambos extremos y excluyendo a cero) y b, c son números enteros que varían entre 2 y 5 (incluyendo ambos extremos).   Al estudiante se le pedirá un término comprendido entre el séptima y quinceava ubicación, la variación de este parámetro implica más trabajo pero no cambia la complejidad de la pregunta.   Se eligieron valores enteros porque se pretende que la dificultad del problema no esté en los cálculos (por ejemplo al haber elegido racionales o irracionales) sino en la interpretación correcta de la definición de la secuencia por recurrencia. Además los cálculos se irán volviendo más en las siguientes preguntas.   Dependiendo de los valores de a, b y c, la secuencia puede ser creciente o decreciente. Para que sea decreciente se debe cumplir que a<0 y que |a \cdot b|>c|, si alguna de estas condiciones no se cumplen entonces es creciente.   Otros elementos que varían, tanto en esta pregunta como en el resto de la lista, son el nombre de la secuencia, la cual puede tomar las letras a, b, x, y, u, v, w, t, r o z, y la variable de la secuencia que puede estar entre las letras i, j, k o n.   Por ejemplo, en en el video la iteración que se muestra da como resultado una secuencia cuyo nombre es w_k. Esta variación es importante ya que por ejemplo, Thompson (1994), en su estudio, reportó que los estudiantes en vez de escribir S_n=1+2+3+\ldots+n escriben f (x)=1+2+3+\ldots+n entendiendo el nombre de la función y la letra de la variable como dos elementos desconectados. Una de las razones de esto puede ser en que nosotros como profesores usamos por costumbre siempre las mismas notaciones para los objetos, creando un obstáculo en la comprensión y significado que le dan los estudiantes a la notación.

Pregunta 2

En la segunda pregunta se agrega otra complejidad, la cuál es tener una fórmula recursiva que depende de dos términos anteriores. Las secuencias de esta pregunta, en general, serán de la forma:   a subíndice n igual abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos columna a celda s i espacio n igual 1 fin celda columna b celda s i espacio n igual 2 fin celda columna celda c por a subíndice n menos 1 fin subíndice más d por a subíndice n menos 2 fin subíndice fin celda celda s i espacio n mayor que 1 fin celda fin tabla cerrar   Donde a y b son un números enteros que varían entre -5 y 5 (incluyendo ambos extremos y excluyendo a cero) y c, d son números enteros entre 2 y 5.   Acá se puede dar una secuencia creciente, decreciente o que vaya alternando sus signos de acuerdo al valor que toman los parámetros.   Al igual que en las preguntas anteriores, al estudiante se le pedirá un término comprendido entre el séptima y quinceava ubicación. Esta variable implica más trabajo pero no cambia la complejidad de la pregunta. También variará el nombre de la sucesión y la variable de esta.

Pregunta 3

Esta pregunta cambia la fórmula, introduciendo una raíz cuadrada en ella, en general, las secuencias de esta pregunta serán de la forma:   a subíndice n igual abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos columna a celda s i espacio n igual 1 fin celda columna celda b por raíz cuadrada de a subíndice n menos 1 fin subíndice fin raíz fin celda celda s i espacio n mayor que 1 fin celda fin tabla cerrar   Donde a es un número entero que varía entre 1 y 5 (incluyendo ambos extremos) y b es un número entero que varía entre 2 y 5 (incluyendo ambos extremos).   Esta secuencia, por los parámetros elegidos, será siempre creciente y positiva.   En esta pregunta se destaca la importancia de un sistema de calculo simbólico (CAS), ya que la respuesta a esta pregunta se puede escribir de muchas maneras. Por ejemplo, en el video la respuesta es:   w subíndice 4 igual 3 raíz cuadrada de 3 raíz cuadrada de 3 raíz cuadrada de 5 fin raíz fin raíz   pero este mismo número, puede ser escrito de muchas formas equivalentes, como por ejemplo:   3 raíz cuadrada de 3 raíz cuadrada de 3 raíz cuadrada de 5 fin raíz fin raíz igual 3 raíz 8 de 3645 igual 3 elevado a 7 dividido por 4 fin elevado por 5 elevado a 1 dividido por 8 fin elevado   entre tantas otras formas.   Los estudiantes tendrán que determinar el término que se encuentra entre la cuarta y séptima ubicación. Esta variable en esta preguntas toma valores mas pequeños que en las anteriores por el carácter exponencial que presenta esta pregunta.

Pregunta 4:

En esta pregunta, se trabaja con otra operación: la división y al igual que en la segunda que se mostró, para obtener un término de la secuencia se necesita información de dos términos anteriores. La fórmula general de esta secuencia será:   a subíndice n igual abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos columna a celda s i espacio n igual 1 fin celda columna b celda s i espacio n igual 2 fin celda columna celda fracción a subíndice n menos 1 fin subíndice entre a subíndice n menos 2 fin subíndice fin celda celda s i espacio n mayor que 1 fin celda fin tabla cerrar   Esta secuencia además de necesitar dos términos consecutivos, tiene características interesantes dependiendo de los valores de los parámetros a y b.

  • Si a \neq b entonces la secuencia se vuelve cíclica y los términos se comienzan a repetir a partir del séptimo término.
  • Si a=\pm b la secuencia se puede transformar en una progresión geométrica o en una geométrica multiplicada por la alternante (-1)^n

Los estudiantes tendrán que determinar el término que se encuentra entre la séptima y quinceava ubicación. Por las características de la función sería interesante pedirle al estudiante un término cuya ubicación fuese lo suficientemente alejada del primer término que tuviese que deducir la fórmula general.

Pregunta 5:

Esta pregunta además de ser diferente en cuánto a su fórmula:   a subíndice n igual abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos columna a celda s i espacio n igual 1 fin celda columna celda a más fracción a entre a subíndice n menos 1 fin subíndice fin celda celda s i espacio n mayor que 1 fin celda fin tabla cerrar   Donde a toma los valores enteros entre -6 y -4 o los enteros entre 1 y 6 (incluyendo los extremos).   La enuncia como una forma de generar la siguiente fracción continua:   a más fracción numerador a entre denominador a más estilo mostrar fracción numerador a entre denominador a más estilo mostrar fracción numerador a entre denominador a más estilo mostrar fracción a entre puntos suspensivos inclinados hacia abajo fin estilo fin fracción fin estilo fin fracción fin estilo fin fracción   La cual es convergente cuando a \in (-\infty,-4) \cup (0,\infty), como los valores elegidos en el algoritmo de la pregunta pertenecen a este conjunto, la secuencia generada siempre será convergente. Por lo que la pregunta está bien definida para todos los valores posibles que tome a.   Si el alumno ingresa un valor aproximado, la pregunta fue diseñada para que, esta le entregue una retroalimentación indicándole que lo ingresado no es el valor exacto, además le entregará parte del puntaje total de la pregunta, tal cual como se muestra en el video.


Información para uso y descarga

descarga

Estas preguntas se pueden ver y descargar aquí. Están dentro de la categoría que se denomina inducción.


Análisis Tecnológico

iconmonstr-gear-10-icon-64 Para poder utilizar estas preguntas o cualquier otra del Stem Collection de Wiris en un aula virtual propia o en la institución donde eres profesor necesitas:

  • Una plataforma Moodle
  • Instalar el plugin WIRIS QUIZZES en el Moodle

Una vez hecho esto podrás ver la pregunta tal cual como se ve en el video y modificar algo que no te guste de ella o crear otra a partir de esta misma. Los elementos aleatorios se configuran de acuerdo a una pequeña programación que es completamente modificable, por lo tanto lo que se muestra se puede cambiar y cualquier consulta de como hacerlo no duden en escribir.   En este video se muestra como se programó esta pregunta:

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