Raíz n-ésima de un número complejo y su interpretación geométrica

En este video, se muestra una pregunta donde al alumno se le dan dos elementos:

  • Una ecuación compleja de la forma zn=a+i·b donde n es un número natural tal que n \ge 3  y ab son números reales donde uno de ellos es cero y el otro no.
  • Un gráfico donde se muestra un polígono regular de n lados centrado en cero y donde uno de sus vértices está marcado en rojo.

Al estudiante se le pregunta por las coordenadas del punto marcado, indicando ademas que es una de las soluciones de la ecuación que compleja que se muestra.


Análisis Didáctico

iconmonstr-calculator-icon-64

¿Qué se espera del estudiante?

El estudiante por una parte tiene que resolver la ecuación planteada, es decir, tiene que determinar todos los z \in \mathbf{C}, tal que:

z^n=a+i\cdot b

  La ecuación fue diseñada de tal forma que el número complejo a+i\cdot b siempre esté en alguno de los cuatro ejes y sea distinto de cero, es decir, a=0 o b=0 y |a|+|b| \neq 0. Esto se eligió con el fin de que la transformación a coordenadas polares fuese más sencilla y a su vez para reforzar la transformación a coordenadas polares de números complejos que están en los ejes. También se eligió para que la norma del número variara entre 2 y 6, incluyendo ambos extremos…       Por otra parte, n es un número natural que variará entre 2 y 6, incluyendo ambos extremos. Por lo que al estudiante le aparecerá desde un triángulo regular hasta un eneágono regular…         Ahora, para resolver la ecuación, el estudiante, deberá transformar el número a+i\cdot b a coordenas porlares, al hacerlo, la ecuación quedará de la forma:

z^n=r\cdot \cos(\theta)+i\cdot r\cdot \sin(\theta)

  donde \theta es el ángulo que se forma entre el vector que se forma entre el origen del plano con el punto a+i\cdot b en sentido contrario a las manecillas del reloj y r es la módulo de a + i\cdot b.   Por lo indicado más arriba, \theta podrá tomar sólo uno de los siguientes valores: 0, \pi / 2, \pi o 3 \pi/2 y r se configuró para que tomara valores enteros entre 2 y 6 (incluyendo ambos extremos).   Aplicando el teorema de Moivre se obtiene que la ecuación tiene n soluciones dadas por:

z_k=\sqrt [n]{r}\cdot \cos\left( \dfrac{\theta+2k\pi}{n} \right)+i\cdot\sqrt [n]{r}\cdot \sin\left( \dfrac{\theta+2k\pi}{n} \right) con k=0,1,2, \cdots ,n-1

  Observemos que esta última expresión es equivalente a la escrita en su forma de euler:

z_k=\sqrt [n]{r}\cdot {e}^{\left(\frac{\theta+2k\pi}{n} \right) i} con k=0,1,2, \cdots ,n-1

  Por lo tanto, una vez que el estudiante resuelva la ecuación, lo que tendrá son n números complejos y tendrá que decidir es cuál de ellos corresponde al punto rojo marcado.   Esta pregunta es interesante porque el estudiante, además de encontrar las soluciones de la ecuación, que muchas veces se transforma en un proceso mecánico, tienen que buscar una forma de distinguir a qué solución corresponde el punto rojo marcado en el gráfico.   Con respecto a esto último, hay que indicar que la pregunta se programó de tal forma que el punto rojo siempre sea un punto que está fuera de los ejes, de tal forma que no puedan obtener la solución por simple inspección.   ¿Cómo podrían los estudiantes verificar a qué solución corresponde el punto rojo? Una posibilidad es que obtengan la lista de soluciones, calculen las aproximaciones y vean a cuál corresponde el punto marcado, por ejemplo, en el problema que se muestra en el video, al utilizar esta estrategia, después de un largo trabajo, obtendrían como resultado que la solución buscada es:

z_5=\sqrt [9]{2}\cdot {e}^{\left(\frac{7\pi}{6} \right) i}=\sqrt [9]{2}\cdot \cos\left( \dfrac{7\pi}{6} \right)+i\cdot\sqrt [9]{2}\cdot \sin\left( \dfrac{7\pi}{6} \right) \approx -0.935-0.54 \cdot i

  Los estudiantes probablemente se sentirán tentados a anotar la solución aproximada, pero al hacerlo, la pregunta se configuró para que no obtengan el puntaje total. Creo que es mejor eso, a dejarlo configurado para que le indique que está malo, porque hicieron gran parte del trabajo bien, sólo que en la parte final usaron una aproximación y no el valor exacto.   Otra estrategia, que es un poco más sofisticada que la anterior, es que el estudiante vea en qué cuadrante está la solución y de la lista de soluciones identifique cuál es la que está en el cuadrante buscado.   Una última estrategia que a mi se me ocurre (de seguro hay otras y los invito a compartirlas si es que visualizan otras), es la de buscar a que solución corresponde el vértice que intersecta a alguno de los ejes (siempre que haya un vértice en alguno de los ejes). Por ejemplo, en esta pregunta hay una solución en el eje y positivo. Entonces eso significa que, para algún valor de k se tiene que:

\dfrac{ \dfrac{\pi}{2}+ 2k \pi}{9}=\dfrac{\pi}{2}

  Al resolver la ecuación se tiene que k=2. Por lo tanto si comenzamos a contar las soluciones en el sentido contrario a como giran las manecillas del reloj, podemos observar que la solución que buscamos es la tercera a partir de la que está en el eje y positivo, por lo tanto la buscada es la quinta solución:

z_5=\sqrt [9]{2}\cdot {e}^{\left(\frac{7\pi}{6} \right) i}=\sqrt [9]{2}\cdot \cos\left( \dfrac{7\pi}{6} \right)+i\cdot\sqrt [9]{2}\cdot \sin\left( \dfrac{7\pi}{6} \right)


Información para uso y descarga

descarga

Este problema se pueden ver y descargar aquí.

Esta pregunta, a su vez pertenece a una categoría más grande de preguntas denominada trigonometría, la cuál puedes ver y descargar aquí.


Análisis Tecnológico

iconmonstr-gear-10-icon-64 Para poder utilizar estas preguntas o cualquier otra del Stem Collection de Wiris en un aula virtual propia o en la institución donde eres profesor necesitas:

  • Una plataforma Moodle
  • Instalar el plugin WIRIS QUIZZES en el Moodle

Una vez hecho esto podrás ver la pregunta tal cual como se ve en el video y modificar algo que no te guste de ella o crear otra a partir de esta misma. Los elementos aleatorios se configuran de acuerdo a una pequeña programación que es completamente modificable, por lo tanto lo que se muestra se puede cambiar y cualquier consulta de como hacerlo no duden en escribir.